forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 21 Σεπ 2017, 05:22

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ανοικτό κυρτό σύνολο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 10 Αύγ 2014, 13:09 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 02 Οκτ 2010, 18:14
Δημοσ.: 82
Έστω S ένα ανοικτό και κυρτό σύνολο στο επίπεδο που περιέχει το (0,0). Υποθέτουμε ότι για κάθε γωνία \theta, υπάρχει r>0 ώστε (r\cos \theta, r\sin \theta) \notin S. Να δειχθεί ότι το S είναι φραγμένο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ανοικτό κυρτό σύνολο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 10 Αύγ 2014, 14:27 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 25 Αύγ 2010, 16:03
Δημοσ.: 686
Ας υποθέσουμε ότι για κάθε n\in \mathbb{N} υπάρχει z_n \in R^2 \,\ |z_n|\geq n \ \forall n\in \mathbb{N}.Tα z_n έχουν το κάθε ένα μία γωνία ,έστω τη g_n .Μπορώ να τις διαλέξω διάφορες ανά δύο,αφού αν υπήρχαν άπειρα z_n τα οποία έχουν την ίδια γωνία,λόγω κυρτότητας του S θα είχαμε ότι δεν ήταν φραγμένο (αφού κάθε σημείο της ευθείας με γωνία τη ζητούμενη z_n θα ανήκε στο S ). Άρα g_n \in [0,2\pi ] άρα εχει συγκλίνουσα υπακολουθία,έστω τη g_{n_k } = m_k .Άρα m_k \to m \in [0,2\pi ] .Τότε :

1)Η ευθεία με γωνία m ανήκει στο S
Aπόδειξη : Έστω ότι υπάρχει a\in R^2 \ ,\ arga= m τέτοιο ώστε δεν ανήκει στο \overline{S} (το οποίο γνωρίζουμε ότι είναι κυρτό ).Άρα υπάρχει B(a,\varepsilon ) \cap S = \emptyset \ , (1) .Παίρνω A= \{ x\in R^2 \ : \ |x|=|a| \} και παίρνω B=\cup _{\{ k_n \in N \ , \ |z_{k_n}|>|a|\} } \{ z_{k_n} \} \cap A = \{ x\in R^2 \ : \ |x|=|a| \ , \ arg x = m_n \} ( όπου \{ z_{k_n } \} η ευθεία [0,z_{k_n } ] ).Άρα αφού από ένα σημείο και μετά έχουμε |z_n |> |a| τότε τα σημεία των ευθειών που ανήκουν στο B θα ανήκουν και στο S (λόγω κυρτότητας του S , αν πάρω ένα ζ_ν με μέτρο >|α| τότε η ευθεία [0,ζ_ν] ανήκει στο S ) .Άρα έχω ακολουθία στο B ( \subset S) η οποία συγκλίνει στο a .Άτοπο λόγω της (1)

_________________
-


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ανοικτό κυρτό σύνολο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Αύγ 2014, 11:51 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 02 Οκτ 2010, 18:14
Δημοσ.: 82
Ωραία! Και κάτι ακόμα: για ποιούς χώρους με νόρμα (X, \| \cdot \| ) ένα τέτοιο σύνολο S είναι αναγκαστικά φραγμένο;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ανοικτό κυρτό σύνολο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Αύγ 2014, 12:54 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 25 Αύγ 2010, 16:03
Δημοσ.: 686
Συμβαίνει στους χώρους πεπερασμένης διάστασης,δε συμβαίνει στους άπειρης.
Θεωρώ βέβαια σαν "γωνία" κάθε διάνυσμα v\in S^{n-1} .

Χώροι πεπερασμένης διάστασης:

Έστω v_n \in S \ , \ |v_n |\geq n \forall n \in \mathbb{N} .Τότε \frac {v_n }{|v_n |} \in S^{n-1} η οποία είναι συμπαγής άρα υπάρχει υπακολουθία των v_n/|v_n | που συγκλίνει στο v\in S^{n-1} .Με παρόμοιο επιχείρημα με την προηγούμενη άσκηση παίρνωντας ότι υπάρχει l \in \mathbb{R} \ , l v \notin S και l \frac {v_n}{|v_n |} \to lv , γνωρίζοντας ότι l \frac {v_n}{|v_n |} \in S ,έχω το ζητούμενο αφού από υπόθεση lv\notin S \Rightarrow B(lv,\epsilon )\cap S = \emptyset .

Χώροι άπειρης διάστασης :

Aφού Χ άπειρης διάστασης υπάρχουν v_1,... γραμμικά ανεξάρτητα με μέτρο v_n = |n| \ , \ n\in \mathbb{N} .Παίρνω S = \{ \sum_{i=1}^{n} l_i v_{k_i} \ , \ n\in \mathbb{N} \ , \sum l_i = 1 \ , \ l_i \geq 0 \ , k_i \in \mathbb{N} \} το οποίο είναι κυρτό.

α)Για κάθε v\in S \ , \ \exists l\in \mathbb{R} \ , \ lv \notin S
Aπόδειξη : v\in S \Rightarrow v = \sum_{i=1}^{n} l_i v_{k_i} \Rightarrow kv = \sum_{i=1}^{n} k\cdot l_i v_{k_i} \notin S αφού \sum k\cdot l_i >1 \ , \ k>1

β)S όχι φραγμένο
Απόδειξη : v_n \in S \Rightarrow diam S \geq n \ \forall n\in \mathbb{N}

_________________
-


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group