forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 20 Νοέμ 2017, 02:15

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 7 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ασκήσεις Τοπολογίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Μαρ 2014, 22:42 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 25 Ιουν 2011, 11:22
Δημοσ.: 17
Θα μπορούσε κάποιος να με βοηθήσει με αυτές τις ασκήσεις?

https://www.dropbox.com/s/hsl29ddlt4p51ys/HW-Top6.pdf

https://www.dropbox.com/s/4c2m98ycft18csl/HW-Top7.pdf

Δεν έχω ιδέα πως να τις δουλέψω.
Ευχαριστώ εκ των προτέρων

(είναι στα αγγλικά, αν κάποιος έχει διάθεση να τις προσπαθήσει και δεν ξέρει αγγλικά ας μου πει να κάνω μια πρόχειρη μετάφραση)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις Τοπολογίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Μαρ 2014, 01:00 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 22 Ιαν 2009, 21:24
Δημοσ.: 176
Θα σου δώσω κάποιες υποδείξεις για την άσκηση με τον \mathbb{R}P^n:

(α) Δούλεψε πρώτα την απλή περίπτωση για την προβολική ευθεία \mathbb{R}P^1: To bijection που σου ζητάει να δείξεις λέει ουσιασικά ότι οι ευθείες στο επίπεδο που περνούν από την αρχή των αξόνων (της μορφής ax=by) βρίσκονται σε 1-1 και επί αντιστοιχία με τα ζεύγη (a,b) με τους εξής περιορισμούς: δεν μπορούν τα a,b να είναι και τα δύο ίσα με 0, αλλά και ότι δύο ζέυγη (a,b),\;(c,d) καθορίζουν την ίδια ευθεία αν και μόνο αν \frac{a}{b}=\frac{c}{d}...

Γενικέυοντας για τον \mathbb{R}P^n, πρέπει να δείξεις ότι οι ευθείες που περνούν από την αρχή των αξόνων στον \mathbb{R}^{n+1} καθορίζονται πλήρως από n+1 (παραμέτρους) που δεν μπορούν να μηδενίζονται ταυτόχρονα, συν ότι αν διπλασιάσεις-τριπλασιάσεις-κλπ. όλες τις παραμέτρους παίρνεις την ίδια ευθεία...

(β) Δούλεψε πάλι πρώτα για n=2:
Πάρε την απεικόνιση \frac{\mathbb{R}^{3}-\{0\}}{\sim}\rightarrow \frac{S^3}{\sim},\;[(x_1,x_2,x_3)]\mapsto \frac{1}{\sqrt{{x_1}^{2}+{x_2}^{2}+{x_3}^{2}}}[(x_1,x_2,x_{3})]

Είναι καλά ορισμένη αφού αν πολλαπλασιάσεις με \lambda την κλάση στο αριστερό μέλος, τότε το \lambda στο δεξί μέλος θα απλοποιηθεί.

1-1 εφόσον ότι αν πάρεις δύο ισοδύναμα σημεία στη σφαίρα, τότε προκύπτουν από πολλαπλασιασμό με -1, δηλαδή ισοδύναμα στο αριστερό μέλος.

Επί, διότι το τυχόν (x_1,x_2,x_3) στη σφαίρα έχει preimage το (\sqrt{{x_1}^{2}+{x_2}^{2}+{x_3}^{2}})[(x_1,x_2,x_3)].

(γ) Μπορείς να χρησιμοποιήσεις ότι εικόνα συμπαγούς χώρου υπό συνεχή συνάρτηση είναι συμπαγής χώρος; Αν ναι, τότε βρες ένα συμπαγή χώρο X και μία επί απεικόνιση (προβολή) X\rightarrow \frac{S^n}{\sim}.

Ελπίζω να βοήθησα...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις Τοπολογίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Σεπ 2014, 17:49 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 25 Αύγ 2010, 16:03
Δημοσ.: 686
Να δειχθεί το εξής :
Αν Χ τ.χ και T_1 , T_2 τοπολογίες στον Χ τότε T_1 \subseteq T_2 \Leftrightarrow \forall x\in X \ , \ \forall (p_{\lambda} )\to x ως προς την T_2 τότε συγκλίνει στο χ και ως προς την T_1 (Με ενδιαφέρει η κατεύθυνση 2) προς 1).Οποιαδήποτε υπόδειξη δεκτή,υποψιάζομαι κατι με κριτήριο Hausdorff η με την κλειστότητα)

_________________
-


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις Τοπολογίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 26 Σεπ 2014, 14:08 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 09 Σεπ 2013, 15:08
Δημοσ.: 219
Τοποθεσια: Εφ σίγμα δέλτα και λοιπά
Ένα σύνολο F σε έναν τοπολογικό χώρο είναι κλειστό αν και μόνο αν για κάθε δίκτυο (p_{\lambda}) με στοιχεία στο F, το οποίο συγκλίνει στο x \in X, ισχύει x \in F. (παρόμοια κατάσταση με το ότι ένα σύνολο σε ένα μετρικό χώρο είναι κλειστό αν και μόνο αν κάθε συγκλίνουσα ακολουθία στοιχείων του συγκλίνει μέσα στο σύνολο)

Για να δείξεις την κατεύθυνση 2) προς 1), αρκεί να δείξεις ότι κάθε T_1-κλειστό σύνολο είναι και T_2-κλειστό.
Έστω λοιπόν F ένα T_1-κλειστό σύνολο και (p_{\lambda}) ένα δίκτυο με στοιχεία στο F. Αν το δίκτυο συγκλίνει ως προς την T_2 στο x \in X, συγκλίνει στο ίδιο x ως προς την T_1, άρα το x \in F, επειδή το F είναι T_1-κλειστό. Αυτό όμως δείχνει ότι κάθε δίκτυο με στοιχεία στο F, συγκλίνει ως προς T_2 αναγκαστικά μέσα στο F, άρα το F είναι T_2-κλειστό.

_________________
Je t'aimais tant, tu étais si jolie. Comment veux-tu que je t'oublie?
En ce temps-là, la vie était plus belle et le soleil plus brûlant qu'aujourd'hui.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις Τοπολογίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Σεπ 2014, 00:10 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 13 Ιαν 2014, 18:21
Δημοσ.: 24
Ένας άλλος τρόπος
Ξέρουμε ότι "Id: (X,T2)--->(X,T1) είναι συνεχής ανν η T1 περιέχεται στην T2"
Εδώ υποθέτοντας το (2) έχουμε ότι η Id είναι συνεχής (αρχή μεταφοράς για δίκτυα)
άρα έχουμε το ζητούμενο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις Τοπολογίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Σεπ 2014, 01:29 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 09 Σεπ 2013, 15:08
Δημοσ.: 219
Τοποθεσια: Εφ σίγμα δέλτα και λοιπά
Πολύ πιο έξυπνος τρόπος! τα σέβη μου :)

_________________
Je t'aimais tant, tu étais si jolie. Comment veux-tu que je t'oublie?
En ce temps-là, la vie était plus belle et le soleil plus brûlant qu'aujourd'hui.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις Τοπολογίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Σεπ 2014, 14:57 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 25 Αύγ 2010, 16:03
Δημοσ.: 686
Παίδες ευχαριστώ για τις λύσεις!

_________________
-


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 7 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group