forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 18 Νοέμ 2017, 08:23

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 6 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ισομετρία μετρικού χώρου με γνήσιο υποσύνολο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Νοέμ 2013, 15:44 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 09 Σεπ 2013, 15:08
Δημοσ.: 219
Τοποθεσια: Εφ σίγμα δέλτα και λοιπά
Στο βιβλίο "Set Theory and Metric Spaces" του Irving Kaplansky, στην 71η σελίδα, η 17η άσκηση ζητάει ένα παράδειγμα μετρικού χώρου που είναι ισομετρικός με ένα γνήσιο υποσύνολό του, ενώ υποδεικνύει να θεωρήσουμε έναν διακριτό χώρο.

Πράγματι, αν θεωρήσουμε έναν μετρικό χώρο (X,d) όπου το σύνολο X είναι άπειρο και d η διακριτή μετρική στο X, τότε επειδή το X είναι ισοπληθικό με κάποιο γνήσιο υποσύνολό του, έστω Y, υπάρχει μια 1-1 συνάρτηση f : X \rightarrow Y, όπου θεωρούμε το Υ ως μετρικό χώρο υπό τη διακριτή μετρική (η οποία είναι περιορισμός της d: X^2 \rightarrow R στο Y^2). Επειδή η f είναι 1-1, έχουμε: d(x,y)=1 \implies x \neq y \implies f(x) \neq f(y) \implies d(f(x),f(y)) = 1, ενώ d(x,y)=0 \implies x=y \implies f(x)=f(y) \implies d(f(x),f(y))=0. Άρα ο X είναι ισομετρικός με το γνήσιο υποσύνολό του Y.

Ένα ενδιαφέρον παράδειγμα που σκέφτηκα μόνος μου είναι ο χώρος \ell^2 όλων των ακολουθιών (x_n) για τις οποίες η σειρά \sum_{n=1}^{\infty} x_n ^2 συγκλίνει, με νόρμα της ακολουθίας (x_n) τον αριθμό \left( \sum_{n=1}^{\infty} x_n ^2 \right)^{1/2}, από την οποία επάγεται η μετρική d((x_n),(y_n)) = \left( \sum_{n=1}^{\infty} (x_n - y_n) ^2 \right)^{1/2} . Εδώ τα πράγματα είναι πιο απτά με την έννοια ότι μπορούμε να βρούμε μια συγκεκριμένη συνάρτηση f: \ell^2 \rightarrow \ell^2, όπου f(x_n) = \left\{
\begin{array}{ c l }
0,   &    n = 0  \\
x_{(n-1)},   &    n \geq 1
\end{array}
\right. .
Η f είναι 1-1 επί ενός γνήσιου υποσυνόλου του \ell^2 και είναι ισομετρία.


Το ερώτημα μου έκανε ιδιαίτερη αίσθηση και αν κάποιος έχει υπ'όψιν του κάποιο άλλο παράδειγμα θα με ενδιέφερε να το ακούσω. Υπ' όψιν ότι δεν ξέρω συναρτησιακή ανάλυση (τυχαία ξέρω τι είναι ο \ell^2).
Ευχαριστώ!

_________________
Je t'aimais tant, tu étais si jolie. Comment veux-tu que je t'oublie?
En ce temps-là, la vie était plus belle et le soleil plus brûlant qu'aujourd'hui.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ισομετρία μετρικού χώρου με γνήσιο υποσύνολο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Νοέμ 2013, 19:20 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 12 Οκτ 2011, 12:57
Δημοσ.: 4
Η απεικόνιση που προτείνεις για την περίπτωση του \ell^2 δεν είναι 1-1 (κατά συνέπεια, ούτε ισομετρία) αφού ταυτίζει όλες τις ακολουθίες της μορφής (x_0, 0, 0,\ldots).


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ισομετρία μετρικού χώρου με γνήσιο υποσύνολο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Νοέμ 2013, 19:28 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 09 Σεπ 2013, 15:08
Δημοσ.: 219
Τοποθεσια: Εφ σίγμα δέλτα και λοιπά
Δεν τις ταυτίζει, απλά τις κάνει (0, x_0, 0, 0, ...). Απλά εσύ ορίζεις την ακολουθία να ξεκινάει από το 0 ενώ εγώ από το 1 :3 αλλά πχ στον R^3 θα συμβόλιζες ένα διάνυσμα ως (x_0, x_1, x_2)? xD Ουσιαστικά αυτό που ήθελα να κάνω με την f είναι να πάω όλους τους όρους της ακολουθίας μια θέση δεξιά και εκεί που ήταν ο πρώτος (που τον λέω x_1) να βάλω το 0! Και νομίζω το έκανα

_________________
Je t'aimais tant, tu étais si jolie. Comment veux-tu que je t'oublie?
En ce temps-là, la vie était plus belle et le soleil plus brûlant qu'aujourd'hui.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ισομετρία μετρικού χώρου με γνήσιο υποσύνολο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Νοέμ 2013, 19:30 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 09 Σεπ 2013, 15:08
Δημοσ.: 219
Τοποθεσια: Εφ σίγμα δέλτα και λοιπά
Θέλω να πω, στο πεδίο ορισμού της ακολουθίας δεν είχα το 0, άρα δεν έχει νόημα το "x_0"

_________________
Je t'aimais tant, tu étais si jolie. Comment veux-tu que je t'oublie?
En ce temps-là, la vie était plus belle et le soleil plus brûlant qu'aujourd'hui.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ισομετρία μετρικού χώρου με γνήσιο υποσύνολο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Νοέμ 2013, 20:17 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 12 Οκτ 2011, 12:57
Δημοσ.: 4
Οκ, απλά δεν κατάλαβα τι σημαίνει το f(x_n)=0 όταν n=0. Τώρα σχετικά με τους χώρους που είναι ισομετρικοί με κάποιον υπόχωρό τους. Θα έλεγα ότι αυτή είναι μάλλον η γενική περίπτωση. Αν δεν κάνω λάθος, το ερώτημα αναδιατυπώνεται: "Αν X είναι ένας μετρικός χώρος, πότε μια ισομετρία \rho: X\to X είναι επί?" Δύο περιπτώσεις που γνωρίζω να συμβαίνει με βεβαιότητα αυτό, είναι όταν ο X είναι συμπαγής μετρικός χώρος ή γραμμικός χώρος πεπερασμένης διάστασης (για το λόγο αυτό πρέπει να καταφύγει κανείς στον \ell^2 για αντιπαράδειγμα γραμμικής ισομετρίας που δεν είναι επί).

Τα παραδείγματα γενικά ποικίλουν. Ας πούμε: f: \mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}, με \quad f(x)=x+1 ή αντίστοιχα, f: \mathbb{R}_{>0}\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3, με f(x,y,z)=(x+1, y, z). Οι χώροι με νόρμα προσφέρουν αρκετά άλλα παραδείγματα.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ισομετρία μετρικού χώρου με γνήσιο υποσύνολο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Νοέμ 2013, 00:14 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 09 Σεπ 2013, 15:08
Δημοσ.: 219
Τοποθεσια: Εφ σίγμα δέλτα και λοιπά
Όχι ακριβώς, αφού το ερώτημά σου είναι ερώτημα που φαίνεται να σχετίζεται με συνθήκες ενώ το δικό μου με παραδείγματα! Τα δύο παραδείγματά σου φυσικά είναι σωστά αλλά είναι λίγο "low-profile", βέβαια η αλήθεια είναι ότι ποτέ δε θα σκεφτόμουν να κοιτάξω υποσύνολα του R^n (xD) άρα ευχαριστώ! Ένα άλλο ωραίο παράδειγμα που διάβασα (και το γράφω εδώ σε περίπτωση που κάποιος ενδιαφέρεται) είναι το εξής:

Έστω (X,d) ένας μετρικός χώρος και p \in X σταθερό. Τότε θεωρούμε P = \{p\} \times \omega (ω συμβολίζω τους φυσικούς εδώ) και θεωρούμε τον χώρο X_{\omega} = (X \times \omega) / P, δηλαδή τον X \times \omega με όλα τα σημεία του P ταυτισμένα σε ένα σημείο, το οποίο θα αποκαλέσω επίσης p. Ορίζω τη μετρική \rho_{\omega} ως εξής:
\rho_{\omega}(\langle x, \kappa \rangle , \langle y , \mu \rangle) = \left\{
\begin{array}{ c l }
d(x,y),   &    \kappa = \mu  \\
d(x,p) + d(p,y),   &    \kappa \neq \mu
\end{array}
\right,
και \rho_{\omega} (p , \langle x, \kappa \rangle) = d(p,x) για κάθε \kappa \in \omega.
Διαισθητικά πρόκειται για έναν χώρο σαν σκαντζόχοιρο με άπειρα αγκάθια :D
Η ισομετρία δίνεται από τη συνάρτηση f(x, \kappa) = (x, \kappa +1), f(p)=p, δηλαδή αντιστοιχίζουμε κάθε "αγκάθι" στο επόμενό του.

_________________
Je t'aimais tant, tu étais si jolie. Comment veux-tu que je t'oublie?
En ce temps-là, la vie était plus belle et le soleil plus brûlant qu'aujourd'hui.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 6 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group