forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 21 Σεπ 2017, 19:45

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 8 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ανοικτά και πυκνά σύνολα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Νοέμ 2013, 13:36 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 25 Οκτ 2013, 12:08
Δημοσ.: 49
Καλησπέρα.

Μελετώ τα πυκνά σύνολα σε μετρικούς χώρους ( συγκεκριμένα το θεώρημα Baire) και έχω την εξής απορία:

Για να δείξω ότι το ανοικτό σύνολο G είναι πυκνό, αρκεί να δ.ο υπάρχει μη κενό ανοικτό υποσύνολο U του μετρικού χώρου X το οποίο να έχει κοινά στοιχεία με το G.

Αυτό γιατί;

Για να δείξω ότι το G είναι πυκνό αρκεί να δείξω ότι η κλειστή θήκη του ταυτίζεται με τον X. Αυτό πως είναι ισοδύναμο με το παραπάνω.

Ευχαριστώ για κάθε βοήθεια.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ανοικτά και πυκνά σύνολα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Νοέμ 2013, 14:04 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 16 Ιαν 2009, 01:23
Δημοσ.: 873
Παράθεση:
Για να δείξω ότι το ανοικτό σύνολο G είναι πυκνό, αρκεί να δ.ο υπάρχει μη κενό ανοικτό υποσύνολο U του μετρικού χώρου X το οποίο να έχει κοινά στοιχεία με το G.


Αυτό δεν είναι σωστό. Για να δείξεις ότι το σύνολο G είναι πυκνό στον μ.χ. X  αρκεί να δείξεις ότι για για κάθε μη κενό ανοικτό υποσύνολο U του X ισχύει ότι \exists g \in G \cap U. Δηλαδή το G όπου και να κοιτάξεις (σε οποιοδήποτε ανοικτό) έχει στοιχείο εκεί, εξού και η πυκνότητα.

Το ισοδύναμο που αναφέρεις αποδεικνύεται με βάση τους ορισμούς σχετικά εύκολα.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ανοικτά και πυκνά σύνολα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Νοέμ 2013, 14:21 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 09 Φεβ 2012, 22:03
Δημοσ.: 619
foithths έγραψε:
Παράθεση:
Για να δείξω ότι το ανοικτό σύνολο G είναι πυκνό, αρκεί να δ.ο υπάρχει μη κενό ανοικτό υποσύνολο U του μετρικού χώρου X το οποίο να έχει κοινά στοιχεία με το G.


Αυτό δεν είναι σωστό. Για να δείξεις ότι το σύνολο G είναι πυκνό στον μ.χ. X  αρκεί να δείξεις ότι για για κάθε μη κενό ανοικτό υποσύνολο U του X ισχύει ότι \exists g \in G \cap U. Δηλαδή το G όπου και να κοιτάξεις (σε οποιοδήποτε ανοικτό) έχει στοιχείο εκεί, εξού και η πυκνότητα.

Το ισοδύναμο που αναφέρεις αποδεικνύεται με βάση τους ορισμούς σχετικά εύκολα.

Πολύ σωστά! Το λάθος στο παραπάνω φαίνεται από το γεγονός ότι η πρώτη πρόταση ικανοποιείται τετριμμένα αν U=G.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ανοικτά και πυκνά σύνολα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Νοέμ 2013, 11:09 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 25 Οκτ 2013, 12:08
Δημοσ.: 49
Σας ευχαριστώ πολύ για την απάντηση, έχετε δίκιο για το λάθος μου.

Την ισοδυναμία που σας ρώτησα την αποδεικνύω λέγοντας ότι αφού πρέπει η κλειστή θήκη του G να είναι το X, θα υπάρχουν στοιχεία του G που θα ανήκουν στην μπάλα με κέντρο το στοιχείο x του G και ακτίνα οποιοδήποτε θετικό αριθμό e , άρα θεωρώ σαν ανοικτά σύνολα U αυτές τις μπάλες;;;;;;;

Ευχαριστώ πολύ και πάλι.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ανοικτά και πυκνά σύνολα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Νοέμ 2013, 11:18 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 09 Φεβ 2012, 22:03
Δημοσ.: 619
Όχι, το U "στο δίνουν" και πρέπει να δείξεις ότι το G \cap U είναι μη κενό.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ανοικτά και πυκνά σύνολα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Νοέμ 2013, 14:32 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 25 Οκτ 2013, 12:08
Δημοσ.: 49
Πως ακριβώς μου δίνουν το U, αυτό προσπαθώ να καταλάβω , το G είναι δεδομένο ότι είναι ανοικτό και θέλω να δείξω ότι είναι πυκνό. Έχω κάτι λάθος στην εκφώνηση; Θα το ξαναδώ.

Ευχαριστώ.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ανοικτά και πυκνά σύνολα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Νοέμ 2013, 16:12 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 09 Φεβ 2012, 22:03
Δημοσ.: 619
Το U είναι τυχαίο αυτό εννοώ.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ανοικτά και πυκνά σύνολα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 22 Νοέμ 2013, 18:35 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 09 Σεπ 2013, 15:08
Δημοσ.: 219
Τοποθεσια: Εφ σίγμα δέλτα και λοιπά
myli έγραψε:
Την ισοδυναμία που σας ρώτησα την αποδεικνύω λέγοντας ότι αφού πρέπει η κλειστή θήκη του G να είναι το X, θα υπάρχουν στοιχεία του G που θα ανήκουν στην μπάλα με κέντρο το στοιχείο x του G και ακτίνα οποιοδήποτε θετικό αριθμό e , άρα θεωρώ σαν ανοικτά σύνολα U αυτές τις μπάλες;;;;;;;


Επειδή η πυκνότητα είναι τοπολογική ιδιότητα (δεν διατυπώνεται με βάση κάποια μετρική αλλά με βάση τα ανοιχτά σύνολα), δεν υπάρχει λόγος να αναφερθείς σε μπάλες. Ο λόγος στο παρακάτω spoiler αλλά προτιμότερο θα ήταν νομίζω να το ψάξεις μόνος/η και μετά να το διαβάσεις!

Spoiler:
Αν υπάρχει σύνολο U με U \cap G = \emptyset, τότε έχεις ότι G \subset X-U. Αν το U είναι ανοιχτό και μη κενό τότε το X-U είναι ένα κλειστό γνήσιο υποσύνολο του X που περιέχει το G, άρα και την κλειστή θήκη του. Το αντίστροφο: αν κάθε μη κενό ανοιχτό σύνολο έχει μη κενή τομή με το G τότε αν υπάρχει κλειστό γνήσιο υποσύνολο C του X που περιέχει το G, το X-C θα είναι μη κενό ανοιχτό σύνολο και συνεπώς θα έχει κοινά σημεία με το G, τα οποία αφού το G είναι υποσύνολο του C, θα ανήκουν και στο C, άτοπο. Άρα το μόνο κλειστό σύνολο που περιέχει το G είναι το X.

_________________
Je t'aimais tant, tu étais si jolie. Comment veux-tu que je t'oublie?
En ce temps-là, la vie était plus belle et le soleil plus brûlant qu'aujourd'hui.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 8 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group