forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 21 Σεπ 2017, 19:40

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Εικόνα πλήρους μετρικού χώρου μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Νοέμ 2013, 01:10 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 25 Οκτ 2013, 12:08
Δημοσ.: 49
Καλησπέρα.

Είναι γνωστό ότι εικόνα ενός συμπαγούς συνόλου ενός μετρικού χώρου μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης είναι συμπαγές σύνολο.

Κάτι παρόμοιο ισχύει και τους πλήρεις μετρικούς χώρους;
Δηλαδή αν ο μετρικός χώρος M είναι πλήρης, και η συνάρτηση f: ( M,d) \rightarrow (N,r) είναι συνεχής , τότε ο f(M) είναι πλήρης;

Ευχαριστώ.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Εικόνα πλήρους μετρικού χώρου μέσω μιας συνεχούς συνάρτη
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Νοέμ 2013, 01:36 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 25 Αύγ 2010, 16:03
Δημοσ.: 686
Όχι απαραίτητα.Πάρε την f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\setminus {0} με f(n) = n+1 .Πάρε σαν μετρική την ευκλείδια απόσταση στους φυσικούς και σαν μετρική στη δεύτερη την |n-m|=|\frac{1}{n} -\frac{1}{m} | .Έλεγξε ότι ο πρώτος μ.χ. είναι πλήρης, η f συνεχής αλλά ο δεύτερος μ.χ. δεν είναι πλήρης

_________________
-


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Εικόνα πλήρους μετρικού χώρου μέσω μιας συνεχούς συνάρτη
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Νοέμ 2013, 08:45 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 25 Οκτ 2013, 12:08
Δημοσ.: 49
Καλημέρα σας και σας ευχαριστώ πολύ για την απάντησή σας. Έχω δείξει ο πρώτος χώρος είναι πλήρης αλλά ο δεύτερος όχι, απλά δεν κατάλαβα που θα χρησιμοποιηθεί στην άσκηση η συνάρτηση f.

Είναι λίγο χαζή η απορία αλλά έχω κολλήσει.

Ευχαριστώ και πάλι.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Εικόνα πλήρους μετρικού χώρου μέσω μιας συνεχούς συνάρτη
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Νοέμ 2013, 20:13 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 09 Φεβ 2012, 22:03
Δημοσ.: 619
myli έγραψε:
Καλημέρα σας και σας ευχαριστώ πολύ για την απάντησή σας. Έχω δείξει ο πρώτος χώρος είναι πλήρης αλλά ο δεύτερος όχι, απλά δεν κατάλαβα που θα χρησιμοποιηθεί στην άσκηση η συνάρτηση f.

Είναι λίγο χαζή η απορία αλλά έχω κολλήσει.

Ευχαριστώ και πάλι.

Τότε έχεις το ζητούμενο αντιπαράδειγμα, καθώς:

Ο μετρικός χώρος M=\mathbb{N} είναι πλήρης, και η συνάρτηση f: ( M,|.|) \rightarrow(\mathbb{N}\setminus {0},r) είναι συνεχής (με r(n,m)=| \frac{1}{n} -\frac{1}{m}|), αλλά ο f(M)=\mathbb{N}\setminus {0} δεν είναι πλήρης.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group