forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 13 Δεκ 2017, 11:22

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ισομετρίες 2
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Οκτ 2013, 12:04 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 25 Οκτ 2013, 12:08
Δημοσ.: 49
Καλησπέρα.

Να δείξετε ότι το R είναι ομοιομορφικό με το (0,1) και ότι το (0,1) είναι ομοιομορφικό με το (0,+\infty).

Είναι το R ισομετρικό με το (0,1) ή το (0,+\infty);

Ευχαριστώ.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ισομετρίες 2
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Οκτ 2013, 16:42 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 02 Ιουν 2008, 01:09
Δημοσ.: 259
Οι παρακατω απεικονισεις (παρατηρησε οτι) ειναι ομοιομορφισμοι.

f:(0,1) \rightarrow (1, +\infty), x \rightarrow 1/x

g:(1,+\infty) \rightarrow (0, + \infty), x \rightarrow x - 1

h:(0,+\infty) \rightarrow R, x \rightarrow ln(x).

Οποτε για το πρωτο που ζητας η hogof ειναι ο ομοιομορφισμος ενω για το δευτερο ειναι η gof.

Για το τριτο, η (1/n) ειναι ακολουθια cauchy στο (0,1) αλλα δεν συγκλινει, αν υπηρχε ισομετρια f απο το (0,1) επι του R τοτε
η f(1/n) θα ταν Cauchy στο R. Αφου ο R ειναι πληρης υπαρχει f(x) ωστε limf(1/n) = f(x). Απο Θ. μεταφορας στην f^{-1}επεται οτι το lim1/n = x. Ατοπο.

Αυτο που χρησιμοποιησα ειναι οτι η ισομετρικη εικονα ακολουθιας Cauchy ειναι ακολουθια Cauchy. (Αυτο ισχυει και ασθενεστερα για ομοιομορφη συνεχεια)
Αντιθετα η συνεχης εικονα ακολουθιας Cauchy δεν ειναι απαραιτητα Cauchy. (πχ f:(0.+\infty) \rightarrow (0,+\infty), x \rightarrow 1/x, η f συνεχης, η 1/n ειναι ακολουθια Cauchy αλλα
η f(1/n) = n δεν ειναι).

_________________
Πισω απο τα συννεφα θεο δε βρισκω αντικρυ
Βρισκω τη καρδια ενος αλητη
Που δε πουλησε τα ονειρα του
Παντα αγνο καθικι


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ισομετρίες 2
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Οκτ 2013, 00:35 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 25 Οκτ 2013, 12:08
Δημοσ.: 49
Σας ευχαριστώ πολύ για την απάντησή σας.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group