forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 13 Δεκ 2017, 11:21

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Μη ομοιομορφικοί χώροι
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Οκτ 2013, 17:47 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 25 Οκτ 2013, 12:08
Δημοσ.: 49
Πως μπορούμε να δείξουμε ότι το R δεν είναι ομοιομορφικό με το R^2; Ακόμη ότι το [0,1] δεν είναι ομοιομορφικό με το [0,1]x[0,1] ;

Ευχαριστώ!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Μη ομοιομορφικοί χώροι
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Οκτ 2013, 23:06 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 02 Ιουν 2008, 01:09
Δημοσ.: 259
Ενας ευκολος τροπος ειναι μεσω της συνεκτικοτητας.

-Ορισμος: Ενας μετρικος στη περιπτωση μας χωρος Χ ειναι συνεκτικος ανν για καθε δυο ανοικτα υποσυνολα του Χ με G \cup G' = X
τοτε G \cap G' \neq \emptyset. (ανν για καθε δυο κλειστα υποσυνολα του Χ με F \cup F' = X τοτε F \cap F' \neq \emptyset. Αυτη η ισοδυναμια δειχνεται ευκολα με λιγη προσοχη).

Μια προτασουλα που η αποδειξη της ειναι ευκολη εφαρμογη του ορισμου. (Δες το αν θες σαν ασκηση.)

-Προταση: Αν Χ,Υ μετρικοι χωροι, f:X \rightarrow Y συνεχης και επι και Χ συνεκτικος τοτε και ο Υ ειναι συνεκτικος.

Ο R,R^2 και ο R^2 \setminus \{ x \}, x \in R^2 ειναι συνεκτικοι χωροι. (Διοτι για καθε δυο κλειστα συνολα με κενη τομη, ευκολα μπορει να δειχθει οτι η ενωση τους δεν κανει το χωρο).
Ο R \setminus \{ 0 \} δεν ειναι συνεκτικος αφου παραγεται απο δυο ανοικτα διαστηματα με κενη τομη.

Παμε στην ουσια

Εστω f:R \rightarrow R^2 ομοιομορφισμος. Τοτε ο περιορισμος f':R \setminus \{ 0 \} \rightarrow R^2 \setminus \{ f(0) \} ειναι ομοιομορφισμος. (Ο περιορισμος συνεχους ειναι συνεχης). Ομως τοτε απο τα παραπανω ο R^2 \setminus \{ f(0) \} ειναι συνεκτικος αλλα η συνεχης εικονα του μεσυ της f'^{-1} δεν συνεκτικος χωρος, ατοπο. Αρα αυτοι οι δυο χωροι δεν ειναι ομοιομορφικοι. Ομοιο επιχειρημα για τα διαστηματα.

Σε παραπανω διαστασεις παντως τα πραγματα γινονται πολυ δυσκολα. Δηλαδη το γεγονος οτι ανn \neq m τοτε οι R^n, R^m δεν ειναι ομοιομορφικοι ειναι ενα συνθετο αποτελεσμα της αλγεβρικης τοπολογιας.

_________________
Πισω απο τα συννεφα θεο δε βρισκω αντικρυ
Βρισκω τη καρδια ενος αλητη
Που δε πουλησε τα ονειρα του
Παντα αγνο καθικι


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Μη ομοιομορφικοί χώροι
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Οκτ 2013, 10:03 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 25 Οκτ 2013, 12:08
Δημοσ.: 49
Καλημέρα, σας ευχαριστώ πολύ για την απάντηση.

Δικαιολογούμαι που δεν μπορούσα να το αποδείξω γιατί το σύγγραμμα το έχει σαν παράδειγμα πριν την συνεκτικότητα.
Θα το μελετήσω διεξοδικά στη συνεκτικότητα.
Να είστε καλά , σας ευχαριστώ για το χρόνο που αφιερώνετε να απαντάτε στις απορίες μου.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Μη ομοιομορφικοί χώροι
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 06 Νοέμ 2013, 12:21 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 25 Οκτ 2013, 12:08
Δημοσ.: 49
Καλησπέρα , έχω φτάσει στο κεφάλαιο των συνεκτικών μετρικών χώρων και έχω στην απόδειξη την απορία γιατί το R^2 \setminus\{f(0)\} είναι συνεκτικός χώρος. Θα μπορούσατε να μου το εξηγήσετε;

Σας ευχαριστώ.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Μη ομοιομορφικοί χώροι
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 06 Νοέμ 2013, 18:37 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 25 Αύγ 2010, 16:03
Δημοσ.: 686
Aρχικά μπορείς να το εξετασεις διαισθητικά. Για την πιο πλήρη απόδειξη δοκίμασε το επιχείρημα : X συνεκτικός <=> για κάθε α,β στο Χ υπάρχει πολυγωνική γραμμή που τα συνδέει και είναι ολόκληρη μέσα στο Χ. Άρα χρησιμοποιώντας αυτό βγάζεις αμέσως ότι το R² \ {f(0)} είναι συνεκτικός.

_________________
-


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group