forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 22 Σεπ 2017, 06:26

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 7 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ομοιομορφισμοί και ισοδύναμες μετρικές
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Οκτ 2013, 09:13 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 25 Οκτ 2013, 12:08
Δημοσ.: 49
Αν οι μετρικές d,r είναι ισοδύναμες , τότε οι μετρικοί χώροι (M,d), (M,r) είναι ομοιομορφικοί(μέσω της ταυτοτικής απεικόνισης). Το αντίστροφο ισχύει πάντα;

Σας ευχαριστώ.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ομοιομορφισμοί και ισοδύναμες μετρικές
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Οκτ 2013, 11:18 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 02 Ιουν 2008, 01:09
Δημοσ.: 259
Ναι.

1. Ισχυει οτι μια συναρτηση f:X \rightarrow Y ειναι συνεχης ανν \forall G \subset Y ανοικτο f^{-1}(G) ειναι ανοικτο στο Χ.

2. Ισχυει οτι μια f:X \rightarrow Y ειναι ομοιομορφισμος τοτε ειναι συνεχης και η αντιστροφη ειναι συνεχης.

Απο τα παραπανω στη περιπτωση σου, αν G \subset (M,r) τοτε το i^{-1}(G) = G ανοικτο στο (M,d) και αν G' \subset (M,d) τοτε το i^{-1^{-1}}(G')) = i(G') = G' ειναι ανοικτο στο (M,r). Αρα οι δυο μετρικοι χωροι εχουν ιδια ανοικτα συνολα.

_________________
Πισω απο τα συννεφα θεο δε βρισκω αντικρυ
Βρισκω τη καρδια ενος αλητη
Που δε πουλησε τα ονειρα του
Παντα αγνο καθικι


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ομοιομορφισμοί και ισοδύναμες μετρικές
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Οκτ 2013, 12:30 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 25 Οκτ 2013, 12:08
Δημοσ.: 49
Καλημέρα και ευχαριστώ θερμά για την απάντηση. Συμφωνώ με τη λύση σου, αλλά το βιβλίο που μελετάω λέει ότι δεν ισχύει αναγκαστικά το αντίστροφο, και δίνει ως αντιπαράδειγμα την ακόλουθη άσκηση:

Έστω (M,d) μετρικός χώρος και το υποσύνολο \{0\}U\{1/n, n>=1\} με τη συνήθη μετρική. Ορίζουμε μια δεύτερη μετρική r στο M με r(1/n,1/m)=|1/n-1/m| για κάθε m,n>=2, r(1/n,1)=1/n για κάθε n>=2, r(1/n,0)=1-1/n για κάθε n>=2 και r(0,1)=1. Να δείξετε ότι οι (M,d), (M,r) είναι ομοιομορφικοί αλλά η ταυτοτική συνάρτηση από το (M,d) στο (M,r) δεν είναι συνεχής.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ομοιομορφισμοί και ισοδύναμες μετρικές
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Οκτ 2013, 16:12 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 02 Ιουν 2008, 01:09
Δημοσ.: 259
Ναι αλλα το αντιστροφο στο αρχικο ερωτημα θα ελεγε:

ΑΝ η ταυτοτικη ΕΙΝΑΙ ομοιομρφισμος τοτε οι δυο μετρικες ειναι ισοδυνμες.

Δεν ισχυριστηκα οτι καθε ταυτοτικη ομοιομορφικων χωρων ειναι συνεχης. (Κατι που δεν ισχυει και δειχνεται ακομα πιο ευκολα στη τοπολογια. Επισης το παραδειγμα σου ειναι ακατανοητο.)

_________________
Πισω απο τα συννεφα θεο δε βρισκω αντικρυ
Βρισκω τη καρδια ενος αλητη
Που δε πουλησε τα ονειρα του
Παντα αγνο καθικι


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ομοιομορφισμοί και ισοδύναμες μετρικές
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Οκτ 2013, 19:05 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 25 Οκτ 2013, 12:08
Δημοσ.: 49
Στο βιβλίο δίνει μια άλυτη άσκηση που λέει ότι:"δείξτε ότι 2 μετρικές d,r σε ένα σύνολο M είναι ισοδύναμες αν και μόνο αν η ταυτοτική απεικόνιση στο M είναι ομοιομορφισμός από τον (M,d) στον (M,r), την οποία και έλυσα. Μήπως αυτή θέλει να χρησιμοποιήσω;

Το παράδειγμα είναι ακριβώς όπως το έγραψα, είναι δε και για μένα ακατανόητο, γι'αυτό το λόγο έκανα την ερώτηση και το ανέβασα.

Σας ευχαριστώ πάντως πολύ για κάθε σας απάντηση στις απορίες μου. Να είστε καλά.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ομοιομορφισμοί και ισοδύναμες μετρικές
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Οκτ 2013, 20:53 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 02 Ιουν 2008, 01:09
Δημοσ.: 259
Μια στιγμη με συγχωρεις δε καταλαβα καλα τι ρωταγες.
αν ρωτας το εξης;

Εστω δυο χωροι (Μ,d), (M,r)
Αν η ταυτοτικη ειναι ομοιμορφισμος τοτε οι δυο μετρικες ειναι ισοδυναμες. Ειμαστε οκ (οπως εδειξα παραπανω)

Αν ρωτας ομως:
Αν οι δυο χωροι ειναι ομοιμορφικοι τοτε οι δυο μετρικες ειναι ισοδυναμες. Τοτε αυτο ειναι αλλο και η απαντηση ειναι οχι.

Το παραδειγμα που εχεις δωσει ειναι καλο (καταφερα να αποκωδικοποιησω αυτα που γραφεις).

- Θετωντας M = \{0 \} \cup \{ 1/n | n \in N, d τη μετρικη που επαγεται απο τη συνηθη, και
r(x,y) = |(1 - x) - (1 - y)| = |x - y| αν x,y \neq 0,1
r(x,0) = |1 - x| αν x \neq 0,1
r(x,1) = |1 - (1 - x)| = x αν x \neq 0,1
r(1,0) = 1, r(1,1) =0 = r(0,0).

Το οτι η r ειναι μετρικη δεν ειναι προφανες, παρολα αυτα με λιγη προσοχη δειχνεται ευκολα.

Η f:M \rightarrow M, f(x) = 1 - x ειναι ομοιομορφισμος . Για να το δειξεις ισως σε βοηθησει ο αναλυτικος τροπος που εγραψα την r. Για τη συνεχεια παρε περιπτωσεις, αν x = 1, x=0, x οτιδηποτε αλλο. Αφου με f^{-1} = f ειναι τετριμμενο να δειχθει οτι η αντιστροφη ειναι συνεχης. Αρα οι δυο χωροι ειναι ομοιομορφικοι.

Τοτε στο πρωτο χωρο B(1,1/4) = \{ 1 \} ενω στο δευτερο \forall e>0, \exists n \in N ωστε1/n \in B(1,e). Aρα δεν υπαρχει ε>0 ωστε B(1,e) \subset B(1, 1/4) = \{ 1 \}. Αρα οι μετρικες δεν ειναι ισοδυναμες.

_________________
Πισω απο τα συννεφα θεο δε βρισκω αντικρυ
Βρισκω τη καρδια ενος αλητη
Που δε πουλησε τα ονειρα του
Παντα αγνο καθικι


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ομοιομορφισμοί και ισοδύναμες μετρικές
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Οκτ 2013, 08:57 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 25 Οκτ 2013, 12:08
Δημοσ.: 49
Σας ευχαριστώ πολύ για την απάντηση, ήταν απόλυτα κατανοητή.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 7 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group