forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 18 Νοέμ 2017, 08:24

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ομοιομορφισμοί
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 26 Οκτ 2013, 09:19 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 25 Οκτ 2013, 12:08
Δημοσ.: 49
Καλημέρα , δεν μπορώ να βρω στη βιβλιογραφία την απόδειξη της ακόλουθης πρότασης.
Αν f:(M,d)\rightarrow (N,r) είναι 1-1 και επί , τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:

α) Η f είναι ομοιομορφισμός
β) Η ακολουθία (x_n) συγκλίνει στο x αν και μόνο αν η f(x_n) συγκλίνει στο f(x).
γ) Το σύνολο G είναι ανοικτό στο M αν και μόνο αν είναι ανοικτό το f(G) στο N.
δ)Το σύνολο E είναι κλειστό στο M αν και μόνο αν το f(E) είναι κλειστό στο N.
ε) Η d_1(x,y)=r(f(x),f(y)) ορίζει στον μετρικό χώρο M μια μετρική ισοδύναμη στην d.

Μέχρι στιγμής έχω αποδείξει την κατεύθυνση από το (α) στο (β) και αντίστροφα, από το (γ) στο (δ), από το (δ)στο (α) και από το (α) στο (γ).
Θα μπορούσε κάποιος να μου δώσει μια υπόδειξη πως θα χρησιμοποιήσω το (ε);

Ευχαριστώ.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ομοιομορφισμοί
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Οκτ 2013, 12:02 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 02 Ιουν 2008, 01:09
Δημοσ.: 259
Θα χρειαστεις τις παρακατω προτασεις που πρεπει να ξερεις.

-Mια f:X \rightarrow Y συνεχης
ανν \forall G \subset Y ανοικτο τοτε f^{-1}(G) ανοικτο στο Χ
ανν \forall F \subset Y κλειστο τοτε f^{-1}(F) κλειστο στο Χ.


-Δυο μετρικες ειναι ισοδυναμες αν:
Μια οκολουθια συγκλινει ως προς μια μετρικη ανν συγκλινει ως προς την αλλη.

-Για μια (x_n) και ενα x στο (X,d) ισχυει
lim_dx_n = x \Leftrightarrow limd(x_n,x)=0

Αρα απο τα παραπανω
a \Rightarrow c f(G) \in N ανοικτο \Rightarrow f^{-1}(f(G)) = G ανοικτο στο Μ.

c \Rightarrow a Αν f μη συνεχης τοτε \exists G \subset N ανοικτο ωστε f^{-1}(G) οχι ανοικτο. Τοτε απο υποθεση f(f^{-1}(G)) = G οχι ανοικτο ατοπο. Αρα f συνεχης
Αν G \subset M ανοικτο τοτε απο υποθεση f^{-1^{-1}}(G) = f(G) ανοικτο, αρα f^{-1} συνεχης.

a \Leftrightarrow d ομοια.

b \Rightarrow e lim_d(x_n)=x\Leftrightarrow f(x_n) \rightarrow f(x)\Leftrightarrow r(f(x_n),f(x)) \rightarrow 0\Leftrightarrow d_1(x_n,x) \rightarrow 0\Leftrightarrow lim_{d_1}x_n =x. Αρα απο την προταση της εισαγωγης οι δυο μετρικες ειναι ισοδυναμες.

e \Rightarrow b lim_dx_n = x\Leftrightarrow lim_{d_1}x_n = x\Leftrightarrow limd_1(x_n,x)=0\Leftrightarrow limr(f(x_n),f(x))=0\Leftrightarrow lim_rf(x_n) = f(x).

Υπαρχουν κι αλλοι τροποι για το ερωτημα που εθεσες και θα ταν καλη ασκηση να εξερευνησεις μερικους πχ α στο β στο δ στο γ στο ε στο α ή α στο ε στο γ στο β στο δ στο α. Θα σε βοηθησει να εξοικιωθεις στις εννοιες της συνεχειας του ανοικτου συνολου της συγκλισης της ισοδυναμιας των μετρικων των ομοιμορφισμων κλπ.

_________________
Πισω απο τα συννεφα θεο δε βρισκω αντικρυ
Βρισκω τη καρδια ενος αλητη
Που δε πουλησε τα ονειρα του
Παντα αγνο καθικι


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ομοιομορφισμοί
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Οκτ 2013, 13:00 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 25 Οκτ 2013, 12:08
Δημοσ.: 49
Ευχαριστώ θερμά για την απάντηση,με βοηθήσατε πολύ!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group