forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 18 Νοέμ 2017, 08:22

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ομοπαραλληλικη Προβολή
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 27 Αύγ 2012, 11:24 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 20 Απρ 2010, 22:03
Δημοσ.: 69
Έστω A ένα επίπεδο, E ευθεία του επιπέδου και k πραγματικός αριθμός. Κατασκευάζουμε μια απεικόνιση f ώς εξής: έστω M σημείο του επιπέδου A, φέρνουμε ευθεία L απο το M κάθετα στην E. Θεωρούμε το ημιεπίπεδο A'που περιέχει το σημείο M. Έστω O το σημείο τομής των δύο ευθειών. Στο σημείο M αντιστοιχίζουμε το σημείο M' στην ευθεία L του ημιεπιπέδου A' ώστε |OM'|=k|OM|.
Να δείξετε ότι η f είναι "1-1", "επί" και τρία σημεία που ανήκουν σε μία ευθεία, τότε και οι εικόνες τους ανήκουν σε μία ευθεία.

Πώς το δείχνουμε για k άρρητο αριθμό?
Και ακόμα, μπορούμε να διαιρέσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα σε λόγο k όπου k άρρητος αριθμός?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ομοπαραλληλικη Προβολή
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Αύγ 2012, 22:54 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 22 Ιαν 2009, 21:24
Δημοσ.: 176
Λοιπόν, εγώ θα προσπαθούσα να το λύσω αλγεβρικά, αν και μάλλον θα υπάρχει και κάποια απλούστερη πιο γεωμετρική λύση:

Ας υποθέσουμε για να απλοποιήσουμε τα πράγματα ότι το επίπεδό A είναι το z=0, δηλαδή το xy επίπεδο. Γράψε την ευθεία E:y=ax+b,\;a\neq 0 και το σημείο M=(x_0,y_0) (μπορείς να εξετάσεις ξεχωριστά τις ειδικές περιπτώσεις όπου E:x=0 ή E:y=0).

Έστω ότι η ευθεία L δίνεται από την εξίσωση y=cx+d,\;c\neq 0. Τότε οι δύο συνθήκες M\in L και L κάθετη στην E δίνουν ότι L:y=-\frac{x}{a}+\frac{x_0}{a}+y_0.

Μετά γράψε (x_1,y_1) για τις συντεταγμένες του σημείου O. Εφόσον το O ανήκει και στην L και στην E, αντικαθιστάς στις δύο εξισώσεις των ευθειών τα x_1,y_1 και εκτελώντας τις πράξεις βρίσκεις x_1=\frac{1}{a^2+1}(ay_0+x_0-ab),\;y_1=\frac{a}{a^2+1}(ay_0+x_0-ab)+b.

Τέλος έστω ότι το σημείο M' έχει συντεταγμένες (x_2,y_2). Εφόσον το M'\in L παίρνουμε y_2=-\frac{x_2}{a}+\frac{x_0}{a}+y_0. Επιπλέον από τη σχέση k|OM|=|OM'| παίρνεις

k(x_0-x_1)^2+k(y_0-y_1)=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2.

Αντικαθιστούμε τα x_1,y_1,y_2 από τους παραπάνω τύπους και (ψιλοβαριέμαι να κάνω τις πράξεις) καταλήγεις σε ένα τριώνυμο με μόνο άγνωστο το x_2 και συντελεστές συναρτήσει των x_0,y_0. Αν το λύσεις θα σου βγάλει (το πολύ) δύο λύσεις εκ των οποίων θα κρατήσεις μόνον αυτή που ικανοποιεί τη συνθήκη με το ημιεπίπεδο.

Ουσιαστικά η συνάρτηση f που γράφεις στέλνει το (x_0,y_0) στο (x_2,y_2) και έχοντας ακριβή τύπο για τις τελευταίες συντεταγμένες μένει να εξετάσεις τις συνθήκες που σου ζητάει για τη συνάρτηση μεταβλητή προς μεταβλητή.

Όσο για το τελευταίο σου ερώτημα εγώ θα το επαναδιατύπωνα: "Δοσμένου τμήματος AB και άρρητου kμπορούμε να βρούμε σημείο \Gamma τέτοιο ώστε |A\Gamma|=k|B\Gamma|;"
Αν γράψουμε τις συντεταγμένες των τριών σημείων η παραπάνω συνθήκη μεταφράζεται σε εξίσωση που έχει πάντα λύση...

Ελπίζω να μην έχω κάνει κάποιο λάθος και συγγνώμη αν σε κάποια σημεία ήμουν λίγο ασαφής... Αν θέλεις κάποια διευκρίνηση γράψε μου!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ομοπαραλληλικη Προβολή
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Αύγ 2012, 12:00 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 20 Απρ 2010, 22:03
Δημοσ.: 69
Ευχαριστώ πολύ. Αλγεβρικά είναι σωστή η λύση, αλλά αν γνωρίζει κάποιος με ενδιαφέρει και μία γεωμετρική λύση περισσότερο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group