forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 18 Νοέμ 2017, 08:24

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ψευδομετρικη-απορια
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Δεκ 2011, 17:53 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 27 Σεπ 2007, 18:07
Δημοσ.: 1920
εστω οτι εχουμε ενα χωρο B εφοδιασμενο με μια ψευδομετρικη d. Επειτα αναγνωριζουμε ή προσδιοριζουμε (το αρθρο λεει identify) τα ζευγη (x,y) \in B^{2} για τα οποια d(x,y) = 0 αλλα x \neq y και με αυτο τον τροπο ο (B,d) γινεται πληρης μετρικος χωρος. η απορια μου ειναι πως γινεται με το identification αυτο να κανουμε τον χωρο μας πληρη μετρικο?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Ψευδομετρικη-απορια
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Δεκ 2011, 17:04 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 630
Υποθέτω είσαι σε κεφάλαιο για «πληρότητα μετρικών χώρων» οπότε θέλει να σού δείξει πώς κατασκεύαζεται ο πλήρης μετρικός χώρος.

Υποθέτω επίσης ότι τον κατασκεύαζει σάν «Σύνολο» απο «Σχέσεις Ισοδυναμίας» από «Ακολουθίες Cauchy». Ορίζει δλδ την απόσταση δύο τέτοιων ακολουθιών... η οποία απόσταση είναι καλώς ορισμένη.... είναι όμως μιά ψευδομετρική...όπως στο παράδειγμά σου.... επειδή είναι δυνατόν δύο διαφορετικές τέτοιες ακολουθίες να έχουν απόσταση μηδέν.

Η ιδιότητα «χ,ψ έχουν απόσταση μηδέν» είναι όμως μιά σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο τών ακολουθιών Cauchy...και το σύνολο ΟΛΩΝ αυτών τών σχέσεων ισοδυναμίας με την δεδομένη αυτή «έννοια τής απόστασης» ένας πλήρης μετρικός χώρος.

Αυτό το «identify» αναφέρεται δλδ στο ότι αυτός «identifies» κάθε στοιχείο χ τού Χώρου με την σχέση ισοδυναμίας τής σταθερής ακολουθίας (x)_n τού ίδιου αυτού Χώρου.


Σημείωση : Η έννοια τής ακολουθίας Cauchy και επομένως έννοια τής πληρότητας ή τής ομοιόμορφης σύγκλισης από ακολουθίες συναρτήσεων ΔΕΝ είναι καθαρά τοπολογικές έννοιες, γι’ αυτό χρειαζόμαστε και μιά μετρική (ή μιά επιπλέον δομή)
Σε γενικούς τοπολογικούς χώρους το όριο πχ από συγκλίνουσες ακολουθίες ΔΕΝ είναι μονοσήμαντο. Αυτό το εξαναγκάζουμε ...χρησιμοποιώντας μιά επιπλέον ιδιότητα...η οποία σε μετρικούς χώρους πληρείται από μόνη της ...είναι η ιδιότητα Hausdoff. Σε Hausdoff τοπολογικούς χώρους είναι τότε το όριο μονοσήμαντο....όπως ακριβώς θέλουμε...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ψευδομετρικη-απορια
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Δεκ 2011, 20:43 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 27 Σεπ 2007, 18:07
Δημοσ.: 1920
αν κ το εμαθα σημερα πως λειτουργουμε σε τετοιοες περιπτωσεις, σε ευχαριστω πολυ αποκαλυπτικε.οχι δεν ειμαι σε κεφάλαιο για «πληρότητα μετρικών χώρων», απλα διαβαζα ενα paper και χρησιμοποιουσε αυτη την θεωρια για να βγαλει αποτελεσματα για μια στοχαστικη διαδικασια που "ζει" σε εναν τετοιο χωρο...ευχαριστω πολυ παντως...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ψευδομετρικη-απορια
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Δεκ 2011, 21:37 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 22 Ιαν 2009, 21:24
Δημοσ.: 176
Έχω την αίσθηση ότι έγινε ένα μικρό μπέρδεμα στη μετάφραση...

Φαντάζομαι ότι στο paper που διαβάζεις η "διαδικασία" ζητούσε να μετατραπεί ο B από pseudometric space σε full metric space. Αυτό φυσικά μπορείς να το μεταφράσεις στα Ελληνικά ως πλήρη μετρικό χώρο, αλλά δεν είναι η καλύτερη δυνατή επιλογή, διότι πλήρης μετρικός χώρος είναι η μετάφραση του complete metric space, που σημαίνει ότι κάθε ακολουθία Cauchy στοιχείων του B συγκλίνει στον B!

Επίσης άλλο μπέρδεμα είναι η μετάφραση του identify που στα μαθηματικά το μεταφράζουμε ως ταυτίζω! Οπότε αυτό που (φαντάζομαι ότι) λέει το paper είναι ότι αν έχεις μια ψευδομετρική d στον B δηλαδή μια απεικόνιση που ικανοποιεί όλες τις ιδιότητες της μετρικής πλην της d(x,y)=0\nRightarrow x=y, τότε κατασκευάζεις έναν κανονικό μετρικό χώρο ως εξής:

Ορίζεις μια σχέση ισοδυναμίας \sim στον B ως x\sim y\Leftrightarrow d(x,y)=0 και μία μετρική d^* στο πηλίκο μέσω της σχέσης d^*\big([x],[y]\big)=d(x,y). Έτσι από τον ψευδομετρικό χώρο (B,d) κατασκεύασες το μετρικό χώρο (B/\sim, d^*)!

Ελπίζω να βοήθησα!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ψευδομετρικη-απορια
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Δεκ 2011, 21:57 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 27 Σεπ 2007, 18:07
Δημοσ.: 1920
λοιπον να το γραψω αναλυτικα,ετσι για το γαμωτο... :?

ΕστωD \equiv \{x : \Omega \times [0,T] \rightarrow \mathbb{R} , x_{t} \in m-\mathcal{F}_{t} \forall t \in [0,T] kai  \mathbb{E}(\int_{0}^{T}(x_{t}^{2})dt) < \infty \}

D_{0}^{exp} \equiv \{x \in D ; \mathbb{Ε} [ \exp (ess\sup_{t}\alpha \* |x_{t}|)] < \infty \forall \alpha \in \mathbb{R} \} οπου \mathbb{E} ειναι η μεση τιμη στον χωρο (\Omega,\mathcal{F},P, \{\mathcal{F}_t\}) με \mathcal{F}_t=\sigma(B_s, s \leq t) , \{B_s\} ειναι κινηση Brown κατω απο το μετρο πιθανοτητας P

Εστω τωρα (\mathcal{B},d)$ χωρος με \mathcal{B} \equiv \{U ; U \in D_{0}^{exp}, U \phi\rho\alpha\gamma\mu\acute{\epsilon}\nu\eta\} και d : \mathcal{B}^{2} \rightarrow \mathbb{R} με

d(x,y) = ess\sup_{(w,t)}|x(w,t) - y(w,t)|. we identify ολες τις (x,y) \in\mathcal{B}^{2} με d(x,y) = 0 και τοτε ο \mathcal{B} ειναι πληρης μετρικος χωρος.

βασικα καραφ αυτο που λες μου το ειπε και ο καθηγητης μου...απλα δεν ειχα ξαναδει κατι τετοιο κ δεν ηξερα τι να κανω...τωρα φανταζομαι για την πληροτητα, πρεπει να βγαινει ευκολα (αν κ δεν δοκιμασα να το βγαλω)

ευχαριστω παιδια...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 5 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group