forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 21 Νοέμ 2017, 10:06

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 9 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ασκήσεις Γενικής Τοπολογίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Νοέμ 2011, 21:28 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 11 Ιούλ 2010, 01:18
Δημοσ.: 107
Συνάδελφοι, γειά σας από Κρήτη.
Παραθέτω μερικές ασκήσεις Γενικής Τοπολογίας.
Για τις βαρετές μέρες που λες δεν ξέρω τι να κάνω....λύσε μερικές ασκήσεις :P :P :P


1. Δίνεται ένας υπόχωρος X του \mathbb{R}.
A. Αν X = \mathbb{Z}, είναι όλα τα υποσύνολα του X ανοιχτά στον X;
B. Αν X = \mathbb{Q}, είναι όλα τα υποσύνολα του X ανοιχτά στον X;


2. Δίνεται ο χώρος X και η συνάρτηση f: X \times X \times X \longrightarrow X \times X.
Δίνεται επίσης ότι για a, b, c \in X , f(a,b,c) = (c, a). Είναι η f συνεχής;


3. Δίνεται ένας μετρικός χώρος X και ένα υποσύνολο W του X.
Aν το W αποτελείται από ακριβώς δύο σημεία, τα a και b, να αποδείξετε ότι το V=\{a\} eίναι και αυτό ανοιχτό υποσύνολο του X.


4. Δίνεται ένας χώρος X του οποίου τα σημεία είναι ακριβώς τα a_1, a_2, a_3 .....
Δίνεται και η συνάρτηση f: X \longrightarrow \mathbb{R} με τύπο f(a_n)=n.
Tέλος δίνεται ότι τα σύνολα V_1, V_2, V_3 ... σχηματίζουν βάση του X, όπου V_1 = X και, για n \succ 1, V_n = \{a\}. Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι συνεχής.

_________________
Για ΣΕΝΑ τραγουδώ . . .


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις Γενικής Τοπολογίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 30 Δεκ 2011, 22:44 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 02 Ιουν 2008, 01:09
Δημοσ.: 259
1.Α Εστω x \in Z τοτε {x} = B(x,1/2) \cap Z. Δηλαδη καθε μονοσυνολο στο Ζ ειναι σχετικα ανοικτο, κατ επεκταση και οποιδηποτε ενωση αυτων ειναι ανοικτο δηλαδη ολα τα υποσυνολα στο Ζ ειναι ανοικτα
Β Οχι διοτι πχ το {0} δεν ειναι ανοικτο αφου για καθε ε>0 Β(0,ε)\cap Qοχι υποσυνολο του \{0\}

2. Ναι αφου αν G \subset X \times X ανοικτο τοτε απο τη τοπολογια γινομενο επεται οτι G = G_1 \times G_2,  G_1,G_2 \in X ανοικτα. Τοτε f^(-1)(G)= G_2 \times X \times G_1 \subset X \times X \times X ανοικτο στη τοπολογια γινομενο. Αρα f συνεχης. (Αλλος ευκολος τροπος επισης ειναι με χρηση δικτυων ή φιλτρων)

3.Αν a=b τελειωσαμε αφου W = {a}. Διαφορετικα επεται απο το οτι καθε μ.χ Χ ειναι και T_1, οποτε υπαρχει G \subset X ανοικτο ωστε G \cap W = \{a\}

4.Εδω διευκρινισε σε παρακαλω τι ειναι το α. Υποθετωντας οτι εννοεις V_n = \{a_n\} παρατηρουμε οτι f επι του Ν με τη σχετικη συνηθη τοπολογια (ακα διακριτη). Τοτε {1} ανοικτο στο Ν αλλα f^(-1)(\{1\}) = \{a_1\} οχι ανοικτο αρα η f ασυνεχης (στο σημειο a_1)

_________________
Πισω απο τα συννεφα θεο δε βρισκω αντικρυ
Βρισκω τη καρδια ενος αλητη
Που δε πουλησε τα ονειρα του
Παντα αγνο καθικι


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις Γενικής Τοπολογίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Ιαν 2012, 23:31 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 17 Φεβ 2011, 15:17
Δημοσ.: 1135
1. Έστω (X,\mathcal{T}) τοπολογικός χώρος. Ένα δίκτυο (p_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda} είναι καθολικό αν \forall A\subset X \quad \exists \lambda_0\in \Lambda : \{p_{\lambda} : \lambda \geq \lambda_0\}\subset A ή \{p_{\lambda} : \lambda \geq \lambda_0\}\subset A^c.
Δείξτε ότι κάθε δίκτυο έχει καθολικό υποδίκτυο (Χρησιμοποιώντας το Λήμμα του Zorn)

2. Ένας τοπολογικός χώρος (X,\mathcal{T}) λέγεται χώρος Urysohn αν \forall x_1,x_2\in X, με x_1\neq x_2, υπάρχουν ανοιχτά G_1,G_2\subset X : x_1\in G_1 , x_2\in G_2 και \overline{G}_1\cap \overline{G}_2=\emptyset.
Βρείτε έναν T_2 χώρο, ο οποίος δεν είναι χώρος Urysohn.

3. Ένας T_2 χώρος λέγεται ημικανονικός αν η οικογένεια \mathfrak{B}=\{A\subset X : A=(\overline{A})^o\} είναι βάση για την τοπολογία του X.
Βρείτε έναν T_2 χώρο, ο οποίος δεν είναι ημικανονικός.

4. Αν ο (X,\mathcal{T}) είναι T_4 χώρος και η f: (X,\mathcal{T})\to (Y,\mathcal{S}) είναι μία συνεχής, κλειστή, επί συνάρτηση, τότε ο (Y,\mathcal{S}) είναι T_4 χώρος.

_________________
Πρέπει να φανταστούμε τον Σίσυφο ευτυχισμένο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις Γενικής Τοπολογίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Ιαν 2012, 15:13 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 02 Ιουν 2008, 01:09
Δημοσ.: 259
1. Αυτη η ασκηση ειναι αρκετα πιο ευκολη (γνωμη μου) αν αντικατασταθουν τα δικτυα με φιλτρα, οπου εκει καθε φιλτρο F περιεχεται σε υπερφιλτρο (παιρνοντας το συνολο B = \{ F' \subset P(X) | F \subset F', F' filter\} και εφαρμοζοντας Ζορν). Επιλεον εχεις οτι σε ενα υπερφιλτρο F και E \subset X τοτε E \in F ή X/E \in F Με αυτο το τροπο εχεις τελειωσει διοτι το αρχικο δικτυο παραγει ενα φιλτρο οπου το υπερφιλτρο του παραγει ενα υποδικτυο με την ιδιοτητα του "καθολικου δικτυο". Εσυ μπορεις να το δειξεις αμεσα χωρις χρηση φιλτρων αν ναι πως;

2. 3. Ο τοπολογικος χωρος (Α,Τ) της αρρητης κλισης q, οπου A = \{(x,y) \in Q^2 | y>0 or y=0\} και η Τ παραγεται απο της (ανοικτες εν τελει) βασικες περιοχες N_e((x,y)) = \{(x,y)\} \cup B(x+y/q,e) \cup B(x-y/q,e) e>0 οπου Β(x+-y/q,e) διαστημα του χ'χ με κεντρο x+-y/q και ακτινα e>0. Για τη διασθητικοτητα του πραμματος αλλα και την αυστηροτα πηγαινε σελ 224 του νεγρεποντη, και παρατηρησε οτι ο χωρος λογω οτι q αρρητος ειναι Hausdorf, κλειστοτητα οποιασδηποτε περιοχης τεμνει τη κλειστοτητα οποιασδηποτε αλλης, αλλου σημειου και οτι τα μοναδικα συνολο οπου A = int(cl(A)) ειναι μονο υποσυνολα του χ'χ οποτε δε μπορουν να αποτελεσουν βαση.

Παρατηρηση:1. Ο ορισμος που δινεις για το χωρο Urysohn εγω τον ξερω ως T_2 1/2 η completely Hausdorff. Απο την αλλη Urysohn ειναι ο χωρος οπου για καθε δυο σημεια χ,ψ υπαρχει συναρτηση Urysohn (φ:Χ -> [0,1] συνεχης) που τα συνδεει (φ(χ) = 0, φ(ψ)=1) και μαλιστα η συνθηκη Urysohn ειναι ισχυροτερη του completely hausdorf.
2. Εχεις απλουστερο παραδειγμα για τα παραπανω;

4. Εστω F, D κλειστα και ξενα υποσυνολα του Υ. Τοτε λογω συνεχειας της f οι αντιστροφες εικονες τους ειναι κλειστα συνολα. Επειδη ο Χ T_4 υπαρχουν G_1, G_2 ανοικτα και ξενα που τις περιεχουν. Τοτε αφου f κλειστη f(X/G_1) = Y\f(G_1), f(X/G_2) = Y/f(G_2) κλειστα. Επισης f(X) = f(X/G_1 \cup X/G_2) = f(X/G_1) \cup f(X/G_2) = Y λογω του επι. Τελος f(G_1), f(G_2) ανοικτα ξενα και F = f(f^-1(F)) \subset f(G_1) οπου η πρωτη ισοτητα ισχυει λογω του επι. Ομοια για D \subset f(G_2)

_________________
Πισω απο τα συννεφα θεο δε βρισκω αντικρυ
Βρισκω τη καρδια ενος αλητη
Που δε πουλησε τα ονειρα του
Παντα αγνο καθικι


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις Γενικής Τοπολογίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Ιαν 2012, 00:52 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 17 Φεβ 2011, 15:17
Δημοσ.: 1135
Ευχαριστώ για τις απαντήσεις.
Tod έγραψε:
Εσυ μπορεις να το δειξεις αμεσα χωρις χρηση φιλτρων αν ναι πως;

Δεν έχω ιδέα...
Tod έγραψε:
Εχεις απλουστερο παραδειγμα για τα παραπανω;

Όχι.

_________________
Πρέπει να φανταστούμε τον Σίσυφο ευτυχισμένο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις Γενικής Τοπολογίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Ιαν 2012, 16:03 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 02 Ιουν 2008, 01:09
Δημοσ.: 259
Παρακαλω.

Αλλα τοτε μπορεις να μου πεις που συναντησες τα ερωτηματα που εθεσες γιατι ηταν ενδιαφεροντα και σιγουρα ξεφευγαν τουλαχιστον τα 3 πρωτα απο τη "προπτυχιακη υλη"

_________________
Πισω απο τα συννεφα θεο δε βρισκω αντικρυ
Βρισκω τη καρδια ενος αλητη
Που δε πουλησε τα ονειρα του
Παντα αγνο καθικι


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις Γενικής Τοπολογίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 17 Ιαν 2012, 16:50 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 17 Φεβ 2011, 15:17
Δημοσ.: 1135
Είναι και οι 4 ασκήσεις ή υποερωτήματα ασκήσεων (που δεν κατάφερνα να λύσω) από το Νεγρεπόντη, στα 4 "πρώτα" κεφάλαια της τοπολογίας.

_________________
Πρέπει να φανταστούμε τον Σίσυφο ευτυχισμένο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις Γενικής Τοπολογίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Ιαν 2012, 03:05 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 11 Ιούλ 2010, 01:18
Δημοσ.: 107
1. Δίνεται ενας χώρoς Hausdorff X ένα υποσύνολο Ατου Xκαι ενα σημείο aτου συμπληρωματικου του Ατου Χ. Να δείξετε ότι a \in \Bar{A} αν και μόνο αν για καθε περιοχή Bτου aτο A \cap B είναι άπειρο.

2. Δίνεται ο (συνήθης) χώρος X= \mathbb{R}, ένα υποσύνολο A του X, και ενα σημείο b του \Bar{A}. Να δείξετε ότι αν b \geq a \forall a \in A, τότε b=supA

_________________
Για ΣΕΝΑ τραγουδώ . . .


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ασκήσεις Γενικής Τοπολογίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 19 Ιούλ 2017, 23:36 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 21 Σεπ 2006, 00:20
Δημοσ.: 303
Γραφω για το 2.Αν b ενα σημειο της κλειστοτητας του Α και ισχυει b>=a για καθε a σημειο του Α τοτε προφανως το b ειναι ανω φραγμα του συνολου Α και επειδη ανηκει στην κλειστοτητα του Α υπαρχει ακολουθια στοιχειων του Α που συγκλινει στο b οποτε αναγκαστικα b=supA.

_________________
The real part of the non-trivial zeros of the zeta function is 1/2


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 9 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group