forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 16 Δεκ 2017, 16:58

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 11 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Ερώτηση γι9 πλήρη μ.χ
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Νοέμ 2017, 10:56 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 10 Ιαν 2010, 19:14
Δημοσ.: 54
Έστω Χ πλήρης μ.χ. και δύο ξένες ανοιχτές μπάλες Β1=Β(x1,ε1), Β2=Β(x2,ε2) τέτοιες ώστε d(B1,B2)=0. Υπάρχει πάντα x ανήκει στον X τέτοιο ώστε d(x,Β1)=d(x,Β2)=0? Άν όχι ισχύει σε νορμικούς χώρους?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ερώτηση γι9 πλήρη μ.χ
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Νοέμ 2017, 16:24 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 13 Νοέμ 2007, 19:38
Δημοσ.: 172
Τοποθεσια: Μαρούσι
λαθος απαντηση sry

_________________
Σωτηρία θα πει να λυτρωθείς απ’ όλους τους σωτήρες· αυτή ’ναι η ανώτατη λευτεριά, η πιο αψηλή, όπου με δυσκολία αναπνέει ο άνθρωπος. Αντέχεις;

Όσες κι αν χτίζουν φυλακές
κι αν ο κλοιός στενεύει
ο νους μας είναι αληταριό
που όλο θα δραπετεύει


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ερώτηση γι9 πλήρη μ.χ
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Νοέμ 2017, 17:08 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 08 Οκτ 2006, 19:08
Δημοσ.: 381
Το ερώτημά σου είναι ισοδύναμο με το ακόλουθο: Αν Α, Β ανοικτές μπάλες με απόσταση μηδέν, ισχύει ότι η τομή του Α κλειστότητα με το Β κλειστότητα είναι μη κενή; Αυτό είναι άμεσο από το ότι ένα σημείο απέχει απόσταση μηδέν από το Α και το Β αν και μόνο αν ανήκει στην κλειστότητα και των δύο.

Για την περίπτωση που έχεις χώρο με νόρμα (όχι κατ' ανάγκην πλήρη) και Α=Β(x, ε), B=B(y,δ), τότε η απάντηση είναι καταφατική. Η απόδειξη βασίζεται στη γεωμετρική ιδέα ότι αν ενώσεις τα σημεία x, y με ένα ευθύγραμμο τμήμα, τότε το σημείο στο οποίο αυτό το ευθύγραμμο τμήμα τέμνει το σύνορο της μπάλας Α, θα είναι και το σημείο που ψάχνουμε.

Η ιδέα υλοποιείται ως εξής: Καταρχάς χωρίς βλάβη μπορούμε να υποθέσουμε ότι τα x,y, ε, δ ικανοποιούν την εξής σχέση: ||x-y|| =ε+δ. Αν όχι, τότε με μια απλή εφαρμογή της τριγωνικής ανισότητας συμπεραίνουμε ότι είτε τα Α και Β τέμνονται (οπότε το ζητούμενο είναι προφανές ότι ισχύει), είτε τα Α και Β έχουν θετική απόσταση (το οποίο είναι άτοπο).
Εν συνεχεία ορίζουμε το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα x, y: Για λ\in [0,1] ορίζουμε z_λ=λy+(1-λ)x και θέτουμε λ_0= \frac{ε}{||x-y||}. Εύκολα ελέγχουμε ότι z_λ \in A για κάθε λ<λ_0 και z_λ \in Β για κάθε λ>λ_0. Ειδικότερα, από αυτό προκύπτει ότι z_{λ_0} \in \overline{A}: Απλά θεώρησε μια γνησίως αύξουσα ακολουθία (λ_n) η οποία να συγκλίνει στο λ_0. Τότε z_{λ_n} \rightarrow z_{λ_0} και z_{λ_n} \in A για κάθε n. Ομοίως προκύπτει ότι z_{λ_0} \in \overline{Β}.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ερώτηση γι9 πλήρη μ.χ
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Νοέμ 2017, 19:03 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 05 Φεβ 2008, 03:03
Δημοσ.: 424
1/2rizax έγραψε:
Καταρχάς χωρίς βλάβη μπορούμε να υποθέσουμε ότι τα x,y, ε, δ ικανοποιούν την εξής σχέση: ||x-y|| =ε+δ. Αν όχι, τότε με μια απλή εφαρμογή της τριγωνικής ανισότητας συμπεραίνουμε ότι είτε τα Α και Β τέμνονται (οπότε το ζητούμενο είναι προφανές ότι ισχύει), είτε τα Α και Β έχουν θετική απόσταση (το οποίο είναι άτοπο).


Στη δεύτερη περίπτωση δεν είναι απαραίτητο ότι τα Α,Β έχουν θετική απόσταση - η απάντηση είναι αρνητική ακόμα και σε χώρους με νόρμα.

Αν θέσουμε χ=0 και y=(2+1/2,2+1/3,2+1/4,...) στον χώρο των φραγμένων ακουλουθιών με την άπειρο-νόρμα, τότε οι Β(χ,1), Β(y,1) εχουν απόσταση 0, αλλά οι κλειστότητές τους είναι ξένες.

(Ας διορθώσει κάποιος τη λατέχ)

_________________
\emptyset\not=\{\emptyset\}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ερώτηση γι9 πλήρη μ.χ
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Νοέμ 2017, 20:20 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 08 Οκτ 2006, 19:08
Δημοσ.: 381
Τα σύνολα που γράφεις έχουν απόσταση 1/2.

Στην περίπτωση που ||x-y|| >ε+δ, αν θέσουμε Α=||x-y|| -ε-δ>0, τότε η απόσταση των δύο μπαλών είναι μεγαλύτερη ή ιση από Α>0.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ερώτηση γι9 πλήρη μ.χ
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Νοέμ 2017, 20:44 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 05 Φεβ 2008, 03:03
Δημοσ.: 424
Ωχ ναι, έχεις δίκιο!

_________________
\emptyset\not=\{\emptyset\}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ερώτηση γι9 πλήρη μ.χ
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Νοέμ 2017, 21:46 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 03 Ιουν 2009, 22:40
Δημοσ.: 607
Το ερώτημα δεν το βρήκα απλό και ίσως σφάλλω.

Αν πάρουμε το σύνολο των αρρήτων στο (α,β) αυτό είναι Gδ σύνολο, οπότε δέχεται μετρική ρ, ισοδύναμη της συνήθους |.| (περιορισμένης στους άρρητους), ώστε να γίνει Πλήρης μετρικός χώρος.
Αν πάρουμε Χ είναι το σύνολο των αρρήτων στο (0, 2) και τα Α=ΧΛ(0,1), Β=ΧΛ(1,2), τότε τα Α, Β είναι κλειστά (ως πλήρη), ξένα, απόστασης 0 και η τομή τους είναι κενή.
(Λ=τομή).
Οι χώροι που για κάθε ζεύγος ξένων ανοικτών συνόλων, έπεται ότι και οι κλειστές θήκες τους έχουν κενή τομή καλούνται extremally disconnected (πχ ο διακριτός χώρος).


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ερώτηση γι9 πλήρη μ.χ
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Νοέμ 2017, 22:00 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 08 Οκτ 2006, 19:08
Δημοσ.: 381
Τα σύνολα Α και Β όμως είναι μπάλες ως προς την καινούργια μετρική;

_________________
Infinite possibilities and all he can do is whine.
You can do anything, you lucky bastard, you're alive! What's a little pain compared to that?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ερώτηση γι9 πλήρη μ.χ
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 21 Νοέμ 2017, 22:15 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 03 Ιουν 2009, 22:40
Δημοσ.: 607
Όχι δεν φαίνονται να είναι, αλλά είναι μια προσέγγιση στο ερώτημα για χώρο χωρίς νόρμα (αν ο χώρος είναι νορμαρισμένος ισχύει και αν η νόρμα είναι αυστηρά κυρτή, η τομή είναι μονοσύνολο).


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ερώτηση γι9 πλήρη μ.χ
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Νοέμ 2017, 18:19 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 05 Φεβ 2008, 03:03
Δημοσ.: 424
Νομίζω υπάρχει αντιπαράδειγμα στην περίπτωση των μετρικών χώρων.

Κατασκευάζουμε έναν μετρικό χώρο ως εξής: στο επίπεδο, θέτουμε λ_1 τα σημεία (n,1) για n φυσικό, και λ_2 τα σημεία (n,-1) για n φυσικό. Έστω λ η ένωση των λ_1, λ_2.

Ορίζουμε συνάρτηση ρ ως εξής:

ρ((1,1),(n,1))=1-1/n, και ρ((1,1),(n,-1))=1 αν n φυσικός
ρ((1,-1),(n,-1))=1-1/n, και ρ((1,-1),(n,1))=1 αν n φυσικός
ρ((n,1),(m,1))=1 και ρ((n,-1),(m,-1))=1, για n διάφορο του m, με n,m μεγαλύτερα του 1
ρ((n,1),(n,-1))=1/n, και ρ((n,1),(m,-1))=1 για n διάφορο του m.

Εύκολα βλέπουμε ότι οι (λ_1,ρ), (λ_2,ρ) είναι μετρικοί χώροι. Αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος στις πράξεις, ο (λ,ρ) είναι μετρικός χώρος.

Επίσης, ο (λ,ρ) είναι πλήρης, αφού οι βασικές ακολουθίες είναι οι τελικά σταθερές.

Επιπλέον, Β((1,1),1)=λ_1 και Β((1,-1),1)=λ_2, τα οποία έχουν απόσταση 0, αφού (n,1)\in λ_1, (n,-1)\in λ_2, και ρ((n,1),(n,-1))=1/n.

Αφού οι βασικές ακολουθίες είναι οι τελικά σταθερές, έχουμε ότι η κλειστότητα της Β((1,1),1) είναι πάλι το λ_1, και η κλειστότητα της Β((1,-1),1) είναι πάλι το λ_2, άρα οι κλειστότητες των Β((1,1),1), Β((1,-1),1) είναι ξένες.

_________________
\emptyset\not=\{\emptyset\}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Ερώτηση γι9 πλήρη μ.χ
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Νοέμ 2017, 10:30 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 03 Ιουν 2009, 22:40
Δημοσ.: 607
Ωραίο παράδειγμα!
Η μετρική είναι ισοδύναμη με την Διακριτή.
Άραγε, υπάρχει παράδειγμα όπου η μετρική δεν θα είναι ισοδύναμη με την διακριτή;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 11 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group