forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 11 Δεκ 2017, 07:56

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Αξίωμα Dedekind
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Ιαν 2011, 23:25 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 632
Για πολυοστή φορά διαβάζω απόψεις που ισχυρίζονται ότι αντλούν την ισχύ τους απο το αξίωμα τού Dedekind, όπως αυτό αναφέρεται σε βιβλίο Γεωμετρίας τού Στέλιου Παπαφλωράτου :

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10

ΑΞΙΩΜΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ
Μερίζοντες τα σημεία προσανατολισμένης ευθείας εις δύο κατηγορίας τοιαύτας, ώστε έκαστον σημείον της δευτέρας κατηγορίας να έπεται εκάστου σημείου της πρώτης, έχομεν τα κατά Dedekind κλάσεις σημείων. Παραθέτωμεν το κάτωθι αξίωμα, γνωστόν ως αξίωμα Dedekind.

Αξίωμα VI (συνεχείας):
Μερίζοντες τα σημεία προσανατολισμένης ευθείας εις κατά Dedekind κλάσεις σημείων, υπάρχει είτε εις την πρώτην των κλάσεων εν τελευταίον, είτε εις την δευτέραν τούτων, εν πρώτον σημείον.

Το αξίωμα τούτο χαρακτηρίζει την ευθείαν ως συνεχή σημειοσειράν, διότι κατατάσσοντες εις μεν την πρώτην κλάσιν πάντα τα προ ορισμένου σημείου Ο κείμενα σημεία, εις δε την δευτέραν μόνον τα επόμενα τούτου σημεία, ήτοι εξαιρούντες το σημείο Ο της γενομένης θεωρήσεως, εις μεν την πρώτην κλάσιν ουδέν θα υπήρχεν τελευταίον σημείον, εις δε την δευτέραν πρώτον.


Μιά μικρή επεξήγηση...με ένα απλό παράδειγμα πχ στο x (όμικρον τού Παπαφλωράτου) :
(-\infty,x) [x,+\infty]
Εδώ στην πρώτη κλάση (αριστερά) δεν έχουμε τελευταίο σημείο, ενώ στην δεύτερη (δεξιά) έχουμε ένα πρώτο
Θα μπορούσαμε βέβαια να έχουμε και :
(-\infty,x] (x,+\infty]
δλδ αριστερά να υπάρχει ένα τελευταίο σημείο και δεξιά να μην υπάρχει ένα πρώτο

Με μιά κουβέντα μάς λέει δλδ ότι κάθε μερισμός τής ευθείας είναι αυτής τής μορφής και το x είναι μοναδικό.

Το ίδιο το σημείο που επιφέρει τον μερισμό είναι το τελευταίο αριστερά ή το πρώτο δεξιά...δεν υπεισέρχονται άλλα σημεία...

Και αυτό το επεξηγεί εκ νέου ο Παπαφλωράτος λέγοντας (χρησιμοποιώντας το ανωτέρω παράδειγμα) :
Το αξίωμα αυτό χαρακτηρίζει την ευθεία ως συνεχή σημειοσειρά, διότι άν βάζαμε αριστερά όλα τα μικρότερα τού x και δεξιά όλα τα μεγαλύτερα αυτού δλδ άν εξαιρούσαμε το x το ίδιο (και δεν τό βάζαμε πουθενά), δέν θα υπήρχε ούτε τελευταίο σημείο αριστερά ούτε πρώτο δεξιά και θα είχαμε ασυνέχεια.


Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Αξίωμα Dedekind
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Ιαν 2011, 23:32 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 05 Μαρ 2008, 12:28
Δημοσ.: 456
Τοποθεσια: N. Kόσμος (τον παλιό τον γκρεμίσαμε!)
Που θέλετε να καταλήξετε δηλαδή;

_________________
"C'est par la logique qu'on démontre, c'est par l'intuition qu'on invente."
(Henri Poincaré)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Αξίωμα Dedekind
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Ιαν 2011, 10:28 
Χωρίς σύνδεση
Banned

Εγγραφή: 20 Απρ 2010, 12:39
Δημοσ.: 278
Apokalyptikos έγραψε:
Για πολυοστή φορά διαβάζω απόψεις που ισχυρίζονται ότι αντλούν την ισχύ τους απο το αξίωμα τού Dedekind, όπως αυτό αναφέρεται σε βιβλίο Γεωμετρίας τού Στέλιου Παπαφλωράτου :

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10

ΑΞΙΩΜΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ
Μερίζοντες τα σημεία προσανατολισμένης ευθείας εις δύο κατηγορίας τοιαύτας, ώστε έκαστον σημείον της δευτέρας κατηγορίας να έπεται εκάστου σημείου της πρώτης, έχομεν τα κατά Dedekind κλάσεις σημείων. Παραθέτωμεν το κάτωθι αξίωμα, γνωστόν ως αξίωμα Dedekind.

Αξίωμα VI (συνεχείας):
Μερίζοντες τα σημεία προσανατολισμένης ευθείας εις κατά Dedekind κλάσεις σημείων, υπάρχει είτε εις την πρώτην των κλάσεων εν τελευταίον, είτε εις την δευτέραν τούτων, εν πρώτον σημείον.

Το αξίωμα τούτο χαρακτηρίζει την ευθείαν ως συνεχή σημειοσειράν, διότι κατατάσσοντες εις μεν την πρώτην κλάσιν πάντα τα προ ορισμένου σημείου Ο κείμενα σημεία, εις δε την δευτέραν μόνον τα επόμενα τούτου σημεία, ήτοι εξαιρούντες το σημείο Ο της γενομένης θεωρήσεως, εις μεν την πρώτην κλάσιν ουδέν θα υπήρχεν τελευταίον σημείον, εις δε την δευτέραν πρώτον.


Μιά μικρή επεξήγηση...με ένα απλό παράδειγμα πχ στο x (όμικρον τού Παπαφλωράτου) :
(-\infty,x) [x,+\infty]
Εδώ στην πρώτη κλάση (αριστερά) δεν έχουμε τελευταίο σημείο, ενώ στην δεύτερη (δεξιά) έχουμε ένα πρώτο
Θα μπορούσαμε βέβαια να έχουμε και :
(-\infty,x] (x,+\infty]
δλδ αριστερά να υπάρχει ένα τελευταίο σημείο και δεξιά να μην υπάρχει ένα πρώτο

Με μιά κουβέντα μάς λέει δλδ ότι κάθε μερισμός τής ευθείας είναι αυτής τής μορφής και το x είναι μοναδικό.

Το ίδιο το σημείο που επιφέρει τον μερισμό είναι το τελευταίο αριστερά ή το πρώτο δεξιά...δεν υπεισέρχονται άλλα σημεία...

Και αυτό το επεξηγεί εκ νέου ο Παπαφλωράτος λέγοντας (χρησιμοποιώντας το ανωτέρω παράδειγμα) :
Το αξίωμα αυτό χαρακτηρίζει την ευθεία ως συνεχή σημειοσειρά, διότι άν βάζαμε αριστερά όλα τα μικρότερα τού x και δεξιά όλα τα μεγαλύτερα αυτού δλδ άν εξαιρούσαμε το x το ίδιο (και δεν τό βάζαμε πουθενά), δέν θα υπήρχε ούτε τελευταίο σημείο αριστερά ούτε πρώτο δεξιά και θα είχαμε ασυνέχεια.


Αποκαλυπτικός


Αυτός είναι ένας ερμηνευτικός συλλογισμός - ορθά διατυπωμένος κατά τις παραθέσεις του Παπαφλωράτου καθώς μερικοί ευτύχησαν να έχουν όλο τον συλλογισμό με φροντίδα κάποιου άλλου - μέσω του οποίου συλλογισμού όμως, εν προκειμένω, επιχειρείται απόδειξη του αξιώματος ή πλήρης εξαφάνιση του αξιώματος και δεν προτείνεται σαν μια απλή ερμηνεία! Θα γίνω πιο σαφής.
Υπάρχει σύγχυση με το αξίωμα συνεχείας του Χίλμπερτ, όπου το κάθε σημείο είναι πρώτο και τελευταίο συγχρόνως. Αν ήταν έτσι δεν χρειάζεται βέβαια να έχει το συνεχές δύο διαφορετικά αξιώματα που να λένε το ίδιο ακριβώς, αλλά θα μέναμε στον Χίλμπερτ και θα τελείωνε το θέμα. Η ερμηνεία αυτή καταργεί το αξίωμα συνεχείας ή του Χίλμπερτ ή του Ντέντεκιντ αφού τα ταυτίζει! Το ένα είναι πλεοναστικό του άλλου. Διαλέξτε.
Ο ίδιος ο Παπαφλωράτος εξάλλου είναι σαφής στη συνέχεια και δεν αφήνει περιθώρια να ερμηνεύσουμε αλλιώς (αποδεικτικά δηλαδή) την συλλογιστική του.
«Εν ουδεμιά περιπτώσει ο εκτεθείς συλλογισμός δύναται να εκληφθεί ως αποδεικτική εργασία επί του αξιώματος, αλλά απλά και μόνο ως παρέχων επεξήγησιν δια την ονομασίαν τούτου ως «αξιώματος συνεχείας».
Σαφέστατος.
Το αξίωμα - κάθε αξίωμα - δεν χρειάζεται κάποια όποια επεξήγηση ή υποκειμενική ερμηνεία όμως και οφείλουμε να το κάνουμε δεκτό όπως έχει. Είναι σαφές και διάφορο του αξιώματος συνεχείας του Χίλμπερτ. Πως έχει λοιπόν;
Αναφέρεται άμεσα σε 2 σημεία, τελευταίο και πρώτο. Αυτά τα δύο σημεία δεν μπορούμε ερμηνευτικά του αξιώματος να τα καταστήσουμε ένα σημείο στρεβλώνοντας την διατύπωσή του με ερμηνεία. Αν τώρα αντικαταστήσουμε τα δύο σημεία με ένα (το χ) δεν έχει νόημα το ίδιο το αξίωμα. Αν ήταν έτσι - κατά την υποκειμενική ερμηνεία όχι μόνο του Παπαφλωράτου αλλά και οποιουδήποτε - θα μπορούσε να ειπωθεί έτσι όπως ερμηνεύεται, που είναι και πιο απλό ήτοι:
Κάθε σημείο ευθείας Ο είναι τελευταίο όλων των σημείων προ αυτού και πρώτο για τα μετά αυτού.
Αυτό λέει το αξίωμα; Τι λέτε; Αυτό λέει;
ΔΕΝ ΛΕΕΙ ΑΥΤΟ. Αναφέρεται σε δύο κλάσεις και σε δύο σημεία (αριστερά και δεξιά του εξαιρουμένου Ο), τελευταίο για την πρώτη, διάφορο του πρώτου, για την δεύτερη. Με μετατροπή του αξιώματος συνεχείας του Ντέντεκιντ σε αξίωμα συνεχείας του Χίλμπερτ ή το αντίστροφο, δεν μπορεί να εγκαλείται κανείς να δεχτεί την ερμηνευτική απόδειξη του αξιώματος αυτού, το οποίο με δεκτή την ερμηνεία σαν απόδειξη, καταργείται.
Το «εξαιρούντες το σημείο Ο της γενομένης θεωρήσεως», έχει την έννοια του σημείου αναφοράς ως προς το οποίο αναγνωρίζονται οι δύο κλάσεις (αριστερή του και δεξιά του), ως προς την θεώρηση και όχι στην πράξη με την έννοια της πραγματικής εξαίρεσης. Η εξαίρεση είναι υποθετική και όχι αφαιρετική. Πως θα αφαιρέσουμε το σημείο Ο από την ευθεία; Με μαγεία; Αφού το Ο υπάρχει εξάπαντος επί της ευθείας - χωρίς κανείς να μπορεί να το αφαιρέσει - υπάρχουν επομένως και τελευταίο πριν το Ο (πρώτης κλάσης) και πρώτο μετά το Ο (δεύτερης κλάσης), το οποίο δεν εξαφανίζεται, αλλά προσδιορίζει απλά το σημείο εκατέρωθεν του οποίου περιγράφονται από το αξίωμα οι κλάσεις. Ούτε το αξίωμα αναφέρει ότι είναι το ίδιο το Ο, πρώτο και τελευταίο.
Λέει το αξίωμα χωρίς ερμηνείες: Χωρίς να λάβουμε υπόψη το Ο (και όχι εξαφανίζοντας το Ο που δεν εξαφανίζεται) υπάρχει πριν το Ο ένα τελευταίο, αυτό λέει το «εξαιρουμένου του Ο της γενομένης θεωρήσεως» χωρίς ερμηνεία, δηλαδή δεν είναι το ίδιο το Ο το τελευταίο της γενομένης θεωρήσεως και ένα πρώτο μετά το Ο, επίσης εξαιρουμένου του Ο της γενομένης θεωρήσεως.
Οι ερμηνείες δεν έχουν λοιπόν καμία θέση (και μάλιστα σε ρόλο αποδεικτικό του αξιώματος) μπροστά στην σαφέστατη διατύπωση του αξιώματος, διάφορη αυτής του αξιώματος συνεχείας του Χίλμπερτ με την οποία επιχειρείται να ταυτιστεί το αξίωμα συνεχείας του Ντέντεκιντ.

………………….ΤΟΠ………………….

Συμπερασμός είναι πως μεταξύ του τελευταίου σημείου Τ πριν το Ο και μεταξύ του πρώτου σημείου Π μετά το Ο, δεν υπάρχουν ενδιάμεσα σημεία. Έτσι έχουμε τρία συνεχή σημεία και το συνεχές της σημειοσειράς και κατανοητό γίνεται και λειτουργικό. Αν στο πάνω σχήμα θεωρήσουμε δηλαδή το Π σαν σημείο αναφοράς των κατά Ντέντεκιντ κλάσεων σημείων, το Ο θα πάρει τη θέση του τελευταίου πριν το Π και ένα σημείο Π1 θα εμφανιστεί επί της ευθείας σαν πρώτο μετά το Π. Ασύλληπτης ωραιότητας διότι είναι απλό.
Το καλύτερο αξίωμα στην ιστορία των μαθηματικών μετά τα ευκλείδεια αξιώματα, κυρίως γιατί ο Ντέρντεκιντ εν προκειμένω μιμήθηκε τον Ευκλείδη (αυτό ήταν πραγματική μαθηματική εξυπνάδα) στην διατύπωση των αξιωμάτων εκ της εμπειρίας και όχι με επινόημα.
Μάλιστα η χρήση του αξιώματος συνεχείας του Ντέντεκιντ, απαντά και στο παράδοξο του Ζήνωνα με τις μισές και τις μισές των μισών αποστάσεων με αμιγώς μαθηματικά μέσα, ανεξάρτητα αν δεν το έχουν «πάρει είδηση» οι μαθηματικοί, παρά τις ηχηρές καμπάνες περί του θέματος.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 3 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group