forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 15 Δεκ 2017, 08:26

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 80 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2, 3, 4, 5, 6
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Απλό πρόβλημα στο πλαίσιο της θεωρίας συνόλων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 03 Φεβ 2011, 20:11 
Χωρίς σύνδεση
Banned

Εγγραφή: 20 Απρ 2010, 12:39
Δημοσ.: 278
karaf έγραψε:
aoristos έγραψε:
Κάθε κυρτό πολύγωνο, μαζί με τα εσωτερικά του σημεία, είναι ένα κυρτό χωρίο, που λέγεται πολυγωνικό χωρίο.

Απορρίπτεται. Λέτε ότι το κυρτό πολύγωνο είναι ένα χωρίο που είναι κυρτό, και είναι και πολύγωνο.
Λυπάμαι, αλλά αυτό δεν είναι ορισμός, ούτε καν "λέγεται" (αν και ομολογουμένως δεν πολυκαταλαβαίνω τι εννοείτε με το "λέγεται"). Για να γίνω σαφέστερος, θέλω τρεις ορισμούς: "χωρίο","κυρτό", "πολύγωνο". Τα "εσωτερικά σημεία τα αφήνουμε για μετα.

aoristos έγραψε:

Η έννοια του εμβαδού αναφέρεται στην «έκταση» των επιφανειών.

Απορρίπτεται. Πρόκειται μία εποπτική ερμηνεία μιας έννοιας που δεν έχει ορισθεί. Θα μπορούσε να είναι χρήσιμη σε μια άλλη συζήτηση, για να βοηθήσει κάποιον άλλον να καταλάβει κάτι άλλο. Στην παρούσα φάση είναι το λιγότερο περιττή.

aoristos έγραψε:

Εμβαδόν είναι ένας θετικός αριθμός που για κάθε πολυγωνική επιφάνεια έστω Τ, είναι μοναδικός.

Απορρίπτεται. Και να δεχτούμε ότι η έννοια πολυγωνικό χωρίο είναι καλά ορισμένη, δε δίνετε ορισμό του εμβαδού. Μπορούν να κατασκευαστούν πολλοί "συναρτητές" που να αντιστοιχίζουν σε κάθε (έστω καλά ορισμένο) πολυγωνικό χωρίο έναν αριθμό, αλλά δεν μας δίνουν όλοι το εμβαδόν του. Χρειζόμαστε σαφή συσχετισμό του εκάστοτε (έστω καλά ορισμένου) πολυγωνικού χωρίου με τον αριθμό που ισχυρίζεστε ότι είναι το εν λόγω εμβαδόν.

aoristos έγραψε:

Δύο ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εμβαδά.

Απορρίπτεται. Προϋποθέτει τον ορισμό της ισότητας των (έστω καλά ορισμένων) πολυγωνικών χωρίων. Η έννοια του αριθμού είναι δεκτή, αν και πρέπει να αποσαφηνίσετε τις ιδιότητες του (φυσικός, ρητός, πραγματικός, μιγαδικός, αλγεβρικός, υπερβατικός κλπ.). Επίσης δεκτή η έννοια της ισότητας των αριθμών.

aoristos έγραψε:

Το εμβαδόν ε ενός τετραγωνικού χωρίου με πλευρά 1 είναι ε=1.


Δεκτό, υπό την προϋπόθεση ότι όλες οι παραπάνω έννοιες έχουν ορισθεί καλά. Όταν ορίσετε το "πολυγωνικό", θα είναι εύκολο και άμεσο να ορίσουμε το "τετραγωνικό".


Αγαπητέ κύριε karaf με αφήνετε κατάπληκτο!
Σας συμπαθώ ειλικρινά και έχω την άποψη ότι είναι αμοιβαίο. Θαυμάζω το θάρρος σας και θα εξηγηθώ αμέσως τι εννοώ με τη λέξη «θάρρος».

Παράθεση:
Karaf
Το πρώτο σας λάθος είναι ότι προς το παρόν, το "επίμαχο μαθηματικό αντικείμενο περί του οποίου ανταλλάσσουμε απόψεις" δεν είναι η παράσταση συνόλου, αλλά οι έννοιες πολυγωνικό χωρίο και εμβαδόν.


Να συμπεράνω κύριε karaf, πως αν κάνω την υπόθεση πως είσαστε μαθηματικός εκπαιδευτικός και βάζατε τα ερωτήματα στους μαθητές σας «τι είναι πολυγωνικό χωρίο και εμβαδόν» και δεχόσαστε τις πάνω απαντήσεις μου από τον μαθητή σας, επί αυτών των ερωτημάτων – προβλημάτων, θα τον βαθμολογούσατε αν όχι με μηδέν, με 1 ή 2 και αυτό χαριστικά; Αυτό συνάγω.

Καλέ μου κύριε Karaf, σας είπα ότι δεν είμαι μαθηματικός και όχι ότι όσα λέω δεν είναι μαθηματικά.
Εκτός και δεν μιλούν μαθηματικά, εκτός από τους μη μαθηματικούς, και οι μαθηματικοί!!!
Έχει μεγάλη διαφορά λοιπόν. Τεράστια διαφορά και δεν θέλω αυτή τη φορά να μου πείτε ότι σας παγίδεψα ή ότι σας πρόδωσα. Ήμουν σαφής. Πιο σαφής δεν γίνεται. Δείτε τι σας είπα στο προηγούμενο μήνυμά μου.

Παράθεση:
aoristos
Αν έχετε άλλους ορισμούς ή «λέγεται», συμφωνώ να τους δούμε μαζί. Οι δικές μου αναφορές εν προκειμένω, όπως είμαι βέβαιος πως το γνωρίζετε καλώς, καθόλου δεν είναι δικές μου ασφαλώς.
Ωστόσο θα μου φανεί χρήσιμο να εμπλουτίσω τις γνώσεις μου αν σε όσα ισχυρίζομαι μπορεί να υπάρξει συμπλήρωση ή κατάργηση.


Όπως επομένως αντιλαμβάνεστε, καθόλου δεν τα βάζετε μαζί μου. Δεν μπορείτε να αμφισβητήσετε τα λεγόμενά μου διότι απλά δεν είναι δικά μου.
Σας ειδοποίησα.
Εδώ λοιπόν ευρίσκεται το θάρρος σας. Τα βάζετε με ολόκληρη, την παγκόσμια δηλαδή, μαθηματική κοινότητα και όχι μόνον την ελληνική, αφού ότι γράφω διδάσκεται παγκόσμια. Εν προκειμένω δεν απορρίπτετε καλέ μου κύριε karaf τον aoristos. Απορρίπτετε ολόκληρη την διδακτέα ύλη των μαθηματικών και σε ότι αφορά τη χώρα μας:

Το Υπουργείο Παιδείας που είναι αρμόδιο και υπεύθυνο από την πολιτεία.
Το Παιδαγωγικό Ινστιτούτο που είναι από την πολιτεία αρμόδιο για την σύνταξη της διδακτέας ύλης.
Την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία.
Το Οργανισμό Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων.
Τους καθηγητές κυρίους:
1. Αλιμπινίση Αν.
2. Δημάκο Γ.
3. Εξαρχάκο Θ. (πρώην πρόεδρο της ΕΜΕ)
4. Κοντογιάννη Δ.
5. Τασσόπουλο Γ.
6. Δρακόπουλο Π.
7. Κυριαζή Αθ.
8. Αργυρόπουλο Η.
9. Βλάμο Π.
10. Κατσούλη Γ.
11. Μαρκάτη Σ.
12. Σιδέρη Π.

που υπογράφουν τα όσα έχω μεταφέρει με αντιγραφή από τα διδακτικά βιβλία του ΟΕΔΒ.

Ότι σας λέω και ότι σας έχω αποκρύψει (τα φυλάσσω για αργότερα) θα τα βρείτε π.χ. στο μαθητικό βιβλίο Θεωρητική Γεωμετρία Β΄ Λυκείου του ΟΕΔΒ, Κεφάλαιο 2, Εμβαδά πολυγώνων, σελίδες 29, 30, 31 των καθηγητών Αλιμπινίση, Δημάκου, Δρακόπουλου, Κυριαζή και Τασσόπουλου ή στην πιο σύγχρονη από άποψη έκδοσης εκ μέρους του ΟΕΔΒ και όχι περιεχομένου, Ευκλείδεια γεωμετρία των Αργυρόπουλου, Βλάμου, Κατσούλη, Μαρκάτη, Σιδέρη, η οποία μάλιστα υπάρχει και σε ηλεκτρονική μορφή στην ιστοσελίδα του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου.
Υπάρχει κάποιος εκ των καθηγητών αυτών εδώ να σας δει και να σας απαντήσει υπερασπιζόμενος την συγραφή του ή δεν υπάρχει ή υπάρχει και κάνει ότι δεν βλέπει τα πρωτοφανή;
Η περιγραφή του πολυγωνικού χωρίου (όχι ορισμός, το διευκρίνισα) με την λέξη «λέγεται» αντί «ορίζεται», ευρίσκεται στην σελίδα 29 του βιβλίου που σας ανέφερα. Τι δεν κατανοείτε επομένως;
Τι απορρίπτετε λοιπόν με τόση άνεση αγαπητέ μου κύριε karaf;
Αν νομίζετε ότι απορρίπτετε εμένα, είναι φανερό πως δεν αληθεύει.
Τους πάνω έγκριτους συναδέλφους σας απορρίπτετε, διότι έχω αντιγράψει ακριβώς. Λέξη - προς λέξη, όπως πολλές φορές κάναμε αντιγραφή στο σχολείο από τον διπλανό ή έκανε αυτός από εμάς.
Τίποτα και πουθενά δεν έχω εισάγει δικές μου αντιλήψεις και προς τούτο δεν μιλάει κανείς καθηγητής, εκτός σκόπιμων δηκτικών θεμάτων που έχω εισάγει (με σκόπιμα περιεχόμενα λάθη – π.χ. το περί την τριχοτόμηση γωνίας) για να προκληθεί διάλογος και όχι για να κάνω εγώ σαν μη μαθηματικός τον έξυπνο στους μαθηματικούς. Ξέρουν οι κύριοι καθηγητές του φόρουμ, πως ότι λέω δεν είναι δικά μου και σιωπούν για να μη τα βάλει ο ένας με τον άλλον.
Π.χ. ο κύριος Γαβαλάς και η νέκρα που έχει επιφέρει. Εγώ ευθύνομαι;
Πρόκληση (με την έννοια του αιτήματός μου) για σας είναι να μου παραθέσετε το αξίωμα του εμβαδού να γελάσουμε αμφότεροι καθώς θα αντιληφθούμε αμέσως το δίκιο που έχει ο Δρ Γαβαλάς για τη θεωρία συνόλων.
Κύριε karaf δεν θέλω να σας αδικήσω.
Μπορείτε λοιπόν εσείς να μου παραθέσετε τους ορισμούς και τα αξιώματα που μου ζητάτε, διότι εγώ ο μη μαθηματικός παραθέτω μόνο (αυτά μπορώ) τις περιγραφές που διδάσκονται τα παιδιά μας. Υπέρβαση με δικές μου απόψεις δεν κάνω. Αυτή είναι η ασφάλειά μου εξάλλου.
Για να προχωρήσουμε πιο κάτω, δηλώνοντας προσωπική αδυναμία να βρω άλλους ορισμούς περί των εννοιών, θέλω από εσάς τους ορισμούς όπως μου υποσχεθήκατε και μάλιστα να λένε άλλα από όσα λένε οι έγκριτοι συνάδελφοί σας, από όλο το φάσμα της εκπαίδευσης. Αν λένε τα ίδια, θα είναι σαν να απορρίπτετε πέρα από τους συναδέλφους σας και τον εαυτό σας.
Πως ορίζεται το κυρτό;
Πως ορίζεται το χωρίο;
Πως ορίζεται το πολυγωνικό χωρίο;
Ποιο είναι το αξίωμα του εμβαδού;
Ορίστε καλέ μου κύριε karaf, που έχουμε οδηγηθεί, επειδή δεν έχετε αντιληφθεί ότι το ζήτημα όλο ευρίσκεται στην παράσταση συνόλου και όχι στις έννοιες πολυγωνικό χωρίο, πολυγωνική επιφάνεια, εσωτερικά και εξωτερικά σημεία ή εμβαδόν, την οποία διατυπώνω ακριβώς (με ιερή προσοχή) όπως προβλέπεται από τη θεωρία συνόλων, ενώ τις έννοιες όπως τις διατυπώνουν οι συνάδελφοί σας.

ΥΓ: Η έννοια «έκταση» εντός εισαγωγικών, είναι διατυπωμένη από τους συναδέλφους σας στο πρώτο εκ των αναφερόμενων βιβλίων στη σελίδα 30, έτσι ακριβώς με τα εισαγωγικά, για να δηλώσει το μέτρο της επιφάνειας. Η έννοια έκταση στα ελληνικά είναι αναφορά σε μέγεθος και συνεπάγεται το μέτρο ή αλλιώς την αριθμητική έκφραση των επιφανειών που μπορούν να απασχολούν τον γεωμέτρη. Βλέπετε η έννοια του μέτρου ευρίσκεται στη συνέχεια του βιβλίου και προς τούτο μπαίνει η έννοια αυτή σε εισαγωγικά, για να δηλώσει δηλαδή την εκκρεμότητα περί την ερμηνεία της σαν μέτρο επιφάνειας ή εμβαδού δηλούμενου με έναν αριθμό.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Απλό πρόβλημα στο πλαίσιο της θεωρίας συνόλων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 04 Φεβ 2011, 03:45 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 22 Ιαν 2009, 21:24
Δημοσ.: 176
Για να μην έχουμε παρεξηγήσεις θέλω να σας ενημερώσω ότι πρώτον δεν έχω προσωπικό πρόβλημα μαζί σας, δεύτερον χαίρομαι με τη συζήτησή μας και τρίτον δεν είμαι εκπαιδευτικός και άρα δεν έχω μαθητές.

Συνεχίζοντας, έχετε λάθος περί της αντιφασής μου με τους εν λόγω συναδέλφους, διότι αγνοείτε την έννοια της σχετικότητος. Οι "ορισμοί", τα "λέγεται" και οι "περιγραφές", μπορεί να είναι ωραιότατες και αποδεκτές για ένα διδακτικό σύγγραμμα, αλλά ο σκοπός τους είναι ακριβώς αυτός: να διδάξουν. Οι καθηγητές της Β' Λυκείου προσπαθούν να περάσουν στους μαθητές τους κάποιες έννοιες με μη αυστηρές μεθόδους. Άλλωστε, στόχος των τελευταίων δεν είναι να καταρρίψουν τα θεωρήματα των μαθηματικών. Ως εκ τούτου, είναι αποδεκτό το να θυσιάζει κανείς την αυστηρότητα και τη θεμελίωση των μαθηματικών για διδακτικούς σκοπούς. Η επίκληση στην αυθεντία όλων των συναδέλφων που αναφέρετε δε στέκει, διότι η αυθεντία τους έγκειται στη διδακτική των μαθηματικών και όχι στη θεμελίωσή των. Συνοψίζοντας την απάντηση μου στο συγκεκριμένο θέμα σε μία πρόταση: απορρίπτω τους ορισμούς όλων των κυρίων στα πλαίσια μιας συζήτησης με περιεχόμενο τη θεμελίωση των μαθηματικών, αλλά τους αποδέχομαι στα πλαίσια μιας διδακτικής διαδικασίας. Για να σας προλάβω, την άποψη ότι δεν ειναι σωστό να διδάσκουμε στα παιδιά "μη αυστηρά" μαθηματικά, τη δέχομαι πολύ περισσότερο από το επιχείρημα πως κάτι στέκει διότι το διδάσκουμε στα παιδιά.

Σημειώνω ότι το άρθρο του Δρ. Γαβαλά, απευθύνεται σε μη εξειδικευμένο κοινό. Οπότε δεν είναι πραγματεία επί της θεμελίωσης των μαθηματικών, όπως δεν είναι πραγματεία της λογικής το (θαυμάσιο) λογοτέχνημα του Δοξιάδη Logicomix, το οποίο σας συνιστώ ανεπιφύλακτα, αν δεν έχετε ήδη διαβάσει. Επιπλέον, επειδή δημοσιεύσατε μόνον ένα μικρό κομμάτι του άρθρου, προτείνει ως εναλλακτική λύση τη θεωρία κατηγοριών, έναν άλλο όμορφο κλάδο των μαθηματικών, ο οποίος επουδενί δεν έρχεται σε αντίφαση με τη θεωρία συνόλων και τη λογική.

Επι του θέματος: εάν μεταχειριστούμε τις έννοιες "πολυγωνικό", "κυρτό", "χωρίο" και "εμβαδόν" με τον τρόπο που τις ορίσατε και μόνο (σύμφωνα με λεγόμενα άλλων, δεν αντιλέγω), δε χωρά αμφιβολία πως δεν αποδεικνύεται η ισότητα των εν λόγω εμβαδών. Αυτό είναι γεγονός.

Επειδή όμως ισχυρίζεστε ότι είστε σε θέση να καταρρίψετε κάτι, πρέπει να χρησιμοποιήσετε αυστηρούς ορισμούς. Και αν, επιμένω, δεν είστε σε θέση να τους διατυπώσετε, πρέπει πρώτα να ανακαλέσετε τον ισχυρισμό σας, να ζητήσετε τους ορισμούς, και με βάση αυτούς να επαναδιατυπώσετε τη γνώμη σας. Είμαι διαθέσιμος αύριο να σας δώσω τους σχετικούς ορισμούς, αφενός μεν διότι είναι πολύ αργά, αφετέρου δε διότι το θεωρώ πολύ πιο παραγωγικό να τους ψάξετε μόνος σας.

Υπόδειξη: Ψάξτε στη wikipedia τους όρους polygonal chain, simple polygon, convex polygon.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Απλό πρόβλημα στο πλαίσιο της θεωρίας συνόλων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 04 Φεβ 2011, 14:45 
Χωρίς σύνδεση
Banned

Εγγραφή: 20 Απρ 2010, 12:39
Δημοσ.: 278
Παράθεση:
karaf
Για να μην έχουμε παρεξηγήσεις θέλω να σας ενημερώσω ότι πρώτον δεν έχω προσωπικό πρόβλημα μαζί σας, δεύτερον χαίρομαι με τη συζήτησή μας και τρίτον δεν είμαι εκπαιδευτικός και άρα δεν έχω μαθητές.


Αγαπητέ κύριε karaf, από μέρους μου με συνομιλητές τέτοιου ήθους, ηπιότητας και ψυχραιμίας που επιδεικνύετε θα ήταν αχαριστία να δεχτώ σαν προσβολή (αιτία για παρεξήγηση) την όποια άποψή σας, ακόμα και αν έχω εντελώς αντίθετη άποψη.
Χαίρομαι εξίσου τη συζήτησή μας, ούτε εγώ έχω και το ελάχιστο προσωπικό πρόβλημα μαζί σας και διαβάζω με πολύ προσοχή κάθε λέξη που γράφετε και κάθε πρόταση που συντάσσετε - όπως δεν οφείλετε βέβαια - για χάρη μου.
Το να σας θέσω σε θέση εκπαιδευτικού ήταν υποθετικό μεν, αλλά και ουσιαστικό. Ακόμα και αν δεν είσαστε εκπαιδευτικός, μπορεί κάποιος να αξιολογήσει τα λεγόμενά σας (σαν μαθηματικού) κάνοντας την πάνω υπόθεση εργασίας. Ήτοι, τι θα κάνατε αν διδάσκατε σε σχολείο, διότι εγώ σαν μη μαθηματικός συζητώντας με μαθηματικό, είμαι εξάπαντος σε θέση μαθητή μέσα στο φόρουμ. Αυτή τη διαπίστωση ήθελα να κάνω. Έχετε λοιπόν, αν όχι μαθητές, έναν τουλάχιστον μαθητή (εμένα), αφού από μόνος σας θέλετε να μου διδάξετε μερικά πράγματα και σας ευχαριστώ.

Παράθεση:
karaf
Συνεχίζοντας, έχετε λάθος περί της αντιφασής μου με τους εν λόγω συναδέλφους, διότι αγνοείτε την έννοια της σχετικότητος. Οι "ορισμοί", τα "λέγεται" και οι "περιγραφές", μπορεί να είναι ωραιότατες και αποδεκτές για ένα διδακτικό σύγγραμμα, αλλά ο σκοπός τους είναι ακριβώς αυτός: να διδάξουν. Οι καθηγητές της Β' Λυκείου προσπαθούν να περάσουν στους μαθητές τους κάποιες έννοιες με μη αυστηρές μεθόδους. Άλλωστε, στόχος των τελευταίων δεν είναι να καταρρίψουν τα θεωρήματα των μαθηματικών.


Το «κακό» εν προκειμένω είναι ότι τους «ορισμούς», τα «λέγεται» και τις «περιγραφές» τις αποδώσατε σε μένα και όχι στους συναδέλφους σας. Εγώ που κάνω λάθος;
Ποιος έχει στόχο κύριε karaf να καταρρίψει θεωρήματα των μαθηματικών; Αν αυτά δεν αντέχουν, θα αποδώσουμε τάχα στον στόχο ή σκοπό την αδυναμία τους ή είναι χρέος να τα εξετάσουμε με πιο αυστηρό διερευνητικό βλέμμα; Είναι κακό η αμφισβήτηση, όταν καλώς γνωρίζετε πως τα θεωρήματα δεν έχουν ιδίαν αποδεικτική ισχύ, όπως τα αξιώματα, αλλά αποτελούν απότοκο απόδειξης με αξιωματική στήριξη; Αν κάποιο θεώρημα ή πολλά θεωρήματα ή ισχυρισμοί δεν «αντέχουν» αποδεικτικά, το να λέμε πως δεν είναι ο στόχος των μαθηματικών να τα καταρρίψουν, δεν είναι αντάξιο των μαθηματικών βέβαια. Ένα παράδειγμα αποτελεί το πυθαγόρειο θεώρημα. Εδώ βλέπουμε μία διαχρονική αντάξια των μαθηματικών προσπάθεια να το ανταποδείξουν, διότι ξενίζουν τα άρρητα, με αποτέλεσμα να έχουμε εκατοντάδες ταξινομημένες αποδείξεις περί την ορθότητά του. Αυτή είναι η ορθή μέθοδος, δηλαδή της αμφισβήτησης και δεν είναι εχθρός των μαθηματικών ο κάθε αμφισβητίας που προσπαθεί και προσπαθούσε διαχρονικά να βρει σφάλμα στο πυθαγόρειο και δεν το μπόρεσε. Έργο της αμφισβήτησης είναι το πλήθος των αποδείξεων και όχι έργο υπό την μορφή που εσείς λέτε «Άλλωστε, στόχος των τελευταίων δεν είναι να καταρρίψουν τα θεωρήματα των μαθηματικών». Από πότε μπορεί λοιπόν να ισχύει ότι ο στόχος ανταπόδειξης θεωρημάτων δεν είναι μαθηματική πρακτική και ο κάθε αμφισβητίας μπορεί να καταταχθεί στου εχθρούς των μαθηματικών, αντί στους λάτρεις των μαθηματικών;
Άλλο παράδειγμα είναι το 5ο αίτημα. Όποιος αποπειραθεί να αποδείξει το 5ο αίτημα είναι εξαιτίας του στόχου του εχθρός των μαθηματικών; Αυτό υπονοεί το «Άλλωστε, στόχος των τελευταίων δεν είναι να καταρρίψουν τα θεωρήματα των μαθηματικών». Είναι κακός ο στόχος της αμφισβήτησης και άγιος ο αντίθετος στόχος αυτών των μαθηματικών που δεν θέλουν να διασαλεύσουν τις κρατούσες αντιλήψεις;
Άλλο παράδειγμα, είναι η Αρχή Αρχιμήδη – Εύδοξου. Δεν μπορούσε να αποδειχτεί και κατέστη αξίωμα από τον Χίλμπερτ, όπως και το 5ο αίτημα αποφασίστηκε να είναι αξίωμα!
Αυτά υποβαθμίζουν τα μαθηματικά.
Το να μου επισημαίνετε ότι ο στόχος των συναδέλφων σας δεν είναι η αμφισβήτηση, ενώ αυτή θα έπρεπε να είναι προς όλες τις κατευθύνσεις, καθιστά τον στόχο υπαίτιο κάθε εξέλιξης και προσομοιάζει με το να θεωρούμε υπεύθυνο το θερμόμετρο για τον πυρετό.

Παράθεση:
karaf
Ως εκ τούτου, είναι αποδεκτό το να θυσιάζει κανείς την αυστηρότητα και τη θεμελίωση των μαθηματικών για διδακτικούς σκοπούς. Η επίκληση στην αυθεντία όλων των συναδέλφων που αναφέρετε δε στέκει, διότι η αυθεντία τους έγκειται στη διδακτική των μαθηματικών και όχι στη θεμελίωσή των.


Κύριε karaf διαφωνώ. Ποιος αποφασίζει τι είναι αποδεκτό να μπει στο θυσιαστήριο; Ποιος είναι ο Αβραάμ των μαθηματικών; Ποιος καθιστά με το έτσι θέλω, Ιφιγένεια την διδαχή; Τι θα πει διδακτικός σκοπός; Τα αυστηρά μαθηματικά σε ότι αφορά μάλιστα τα μαθηματικά θεμέλια δεν είναι διδακτικά και αφορούν κάποιο «κρυφό ιερατείο» των μαθηματικών που αντιλαμβάνονται τον ρόλο τους σαν μαθηματικών μυστών; Ο Σαββόπουλος λέει: «Κρατάς κρυμμένα μυστικά και ντοκουμέντα». Γιατί;
Αυτά δεν τα κατανοεί ο κοινός νους μου και δίνω άλλη απλούστερη εξήγηση και πιο κατανοητή μάλιστα. Λέγεται στην καθημερινότητα: Και με το αστυφύλαξ και με το χωροφύλαξ. Όταν εμφανιστούν «δυσκολίες» έχουμε το πρόσχημα της διδακτικής και στέλνουμε αυτόν τον μη μαθηματικό που προσεγγίζει διερευνητικά τα μαθηματικά από γραφείο σε γραφείο δημόσιας υπηρεσίας και άντε να βρει την άκρη μέχρι να τον πιάσει απελπισία; Το αναφέρουν τουλάχιστον τα διδακτικά βιβλία αυτό που λέτε, ήτοι: «Αγαπητοί μαθητές σας πάμε από Αθήνα Θεσσαλονίκη μέσω Κρήτης για διδακτικούς λόγους, διότι τα αυστηρά μαθηματικά δεν είναι διδακτικά»;

Παράθεση:
karaf
Συνοψίζοντας την απάντηση μου στο συγκεκριμένο θέμα σε μία πρόταση: απορρίπτω τους ορισμούς όλων των κυρίων στα πλαίσια μιας συζήτησης με περιεχόμενο τη θεμελίωση των μαθηματικών, αλλά τους αποδέχομαι στα πλαίσια μιας διδακτικής διαδικασίας. Για να σας προλάβω, την άποψη ότι δεν είναι σωστό να διδάσκουμε στα παιδιά "μη αυστηρά" μαθηματικά, τη δέχομαι πολύ περισσότερο από το επιχείρημα πως κάτι στέκει διότι το διδάσκουμε στα παιδιά.


Αυτό ακριβώς είναι και το δικό μου επιχείρημα. Δεν μπορεί ΠΟΤΕ να μη στέκει ότι διδάσκονται τα παιδιά στα σχολεία. Δεν θα ακολουθήσουν όλοι μαθηματική κατεύθυνση να τα μάθουν αργότερα, ώστε να στερηθούν με πρόσχημα την «διδακτική», σε μία σχολική περίοδο της ζωής τους τα αυστηρά θεμέλια. Αν είναι δυσνόητα τα αυστηρά μαθηματικά, θα μου επιτρέψετε να σας πως ότι δεν είναι μαθηματικά. Τα μαθηματικά είναι απλά και αυτός είναι εξάλλου ο λόγος που μου δίνει τη δυνατότητα να τα διερευνώ και σαν μη μαθηματικός. Το δυσνόητο είναι πρόσχημα για την οξύτητα του μαθητικού πνεύματος του επιπέδου του λυκείου. Τα μαθηματικά είναι για όλους και όχι για τους λίγους τυχερούς που θα τα ακολουθήσουν και βλέπουν παντού εχθρούς των μαθηματικών αισθανόμενοι ανώτεροι καθώς διδάσκονται τα «μυστικά των μαθηματικών» που στερούνται όσοι δεν θα ακολουθήσουν αυτή την κατεύθυνση. Ούτε η πολιτεία δεν μπορεί να ελέγξει επομένως και ούτε να καθοδηγήσει για το μέλλον γενέσθαι. Υπάρχει τεράστια ευθύνη, όσο τεράστιο είναι και το πρόσχημα.

Παράθεση:
karaf
Σημειώνω ότι το άρθρο του Δρ. Γαβαλά, απευθύνεται σε μη εξειδικευμένο κοινό. Οπότε δεν είναι πραγματεία επί της θεμελίωσης των μαθηματικών, όπως δεν είναι πραγματεία της λογικής το (θαυμάσιο) λογοτέχνημα του Δοξιάδη Logicomix, το οποίο σας συνιστώ ανεπιφύλακτα, αν δεν έχετε ήδη διαβάσει. Επιπλέον, επειδή δημοσιεύσατε μόνον ένα μικρό κομμάτι του άρθρου, προτείνει ως εναλλακτική λύση τη θεωρία κατηγοριών, έναν άλλο όμορφο κλάδο των μαθηματικών, ο οποίος επουδενί δεν έρχεται σε αντίφαση με τη θεωρία συνόλων και τη λογική.


Διαφωνώ κάθετα και οριζόντια κύριε karaf. Δεν είναι κατά κανέναν τρόπο συμβατό με την αλήθεια το να μειώνουμε το άρθρο του κυρίου Γαβαλά, μέσα από την υποτίμηση του κοινού! Δηλαδή αν αφορούσε μόνο εξειδικευμένο κοινό όπως λέτε, θα έπαιρνε πίσω την άποψή του (και όχι μόνο δική του) ότι η θεωρία συνόλων δεν είναι αξιόπιστη και την πρότασή του για αγωγή στη θεωρία των κατηγοριών; Το έγραψε το άρθρο για το μη εξειδικευμένο κοινό και δεν αφορά του ειδικούς, όταν ο ίδιος ο κύριος Γαβαλάς (και όχι μόνο βέβαια) είναι όντως ειδικός; Δηλαδή τι έκανε κατά την άποψή σας. Συκοφάντησε τη θεωρία συνόλων στους μη ειδικούς και για ποιον λόγο; Δεν σας κατανοώ εν προκειμένω.


Παράθεση:
karaf
Επί του θέματος: εάν μεταχειριστούμε τις έννοιες "πολυγωνικό", "κυρτό", "χωρίο" και "εμβαδόν" με τον τρόπο που τις ορίσατε και μόνο (σύμφωνα με λεγόμενα άλλων, δεν αντιλέγω), δε χωρά αμφιβολία πως δεν αποδεικνύεται η ισότητα των εν λόγω εμβαδών.
Αυτό είναι γεγονός.


Τώρα μάλιστα συμφωνούμε, να σας χαρώ κύριε karaf. Αυτό σας είπα εξαρχής εξάλλου, ότι δεν μπορείτε (όχι εσείς προσωπικά βέβαια, αλλά κανείς) να ανατρέψετε την ανισότητα των εμβαδών με τις διδασκόμενες (και όχι δικές μου) έννοιες περί πολυγωνικών χωρίων, πολυγωνικών επιφανειών και του αξιώματος του εμβαδού, με αιτία την παράσταση συνόλου, που αποδεικνύει άνισα τα δύο τετραγωνικά πολυγωνικά χωρία συγκρινόμενα με την μία πολυγωνική επιφάνεια και επομένως μη ισεμβαδικά ή ισοδύναμα, στο εισαγωγικό πρόβλημα.
Για να ανατραπεί η ανισότητα των εμβαδών και να καταστεί ισεμβαδικότητα, απαιτείται απόδειξη ισότητας των συνόλων των δύο τετραγωνικών χωρίων, με την μία πολυγωνική επιφάνεια ήτοι:
Α. Ένα αξίωμα που να στηρίζει την άποψη ότι μπορούμε την πολυγωνική επιφάνεια να την εξετάζουμε και σαν δύο χωριστά πολυγωνικά (τετράγωνα) χωρία.
Β. Ένα αξίωμα που να μπορεί να στηρίξει την «κατ` εξαίρεση» μη ισχύ της αξιωματικής πρόβλεψης του ίδιου του αξιώματος του εμβαδού πως «Δύο ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εμβαδά» χωρίς και την ισχύ του αντίστροφου βέβαια.
Όπως καταλαβαίνετε, ένα τέτοιο αξίωμα αδυνατεί να διατυπωθεί διότι θα αντιφάσκει άμεσα στο αξίωμα του εμβαδού.
Χαίρομαι εξαιρετικά για την ειλικρίνειά σας. Τι συνέπειες θα τις εξετάσουμε αργότερα, αν βέβαια έχετε την ίδια διάθεση που τώρα διακρίνω για γόνιμη, εποικοδομητική και παραγωγική συζήτηση, στο ίδιο ασφαλές ύφος της ευγένειας που σας διακρίνει.

Παράθεση:
karaf
Επειδή όμως ισχυρίζεστε ότι είστε σε θέση να καταρρίψετε κάτι, πρέπει να χρησιμοποιήσετε αυστηρούς ορισμούς.


Δεν διαφωνώ καθόλου. Διατύπωσα απλά (την σύμφωνη και με την δική σας) άποψη ότι η διδασκαλία των μη αυστηρών, όπως λέτε, μαθηματικών, είναι σε βάρος των ίδιων των μαθητών και ταυτόχρονα λειτουργεί και προσχηματικά για κάθε μελετητή των μαθηματικών θεμελίων, όπως περιέγραψα την ταλαιπωρία από γραφείο σε γραφείο του δημοσίου να κυνηγάμε τις υπογραφές μέσα στην πολυνομία και την συναρμοδιότητα.

Παράθεση:
karaf
Και αν, επιμένω, δεν είστε σε θέση να τους διατυπώσετε, πρέπει πρώτα να ανακαλέσετε τον ισχυρισμό σας, να ζητήσετε τους ορισμούς, και με βάση αυτούς να επαναδιατυπώσετε τη γνώμη σας. Είμαι διαθέσιμος αύριο να σας δώσω τους σχετικούς ορισμούς, αφενός μεν διότι είναι πολύ αργά, αφετέρου δε διότι το θεωρώ πολύ πιο παραγωγικό να τους ψάξετε μόνος σας.
Υπόδειξη: Ψάξτε στη wikipedia τους όρους polygonal chain, simple polygon, convex polygon.


Ποιον ισχυρισμό μου εννοείτε να ανακαλέσω;
Δεν βλέπω να έχω καταθέσει κάποιον ίδιον ισχυρισμό, παρά μόνο, να διατυπώνω συμπερασμό συνεξετάζοντας τις διδασκόμενες προβλέψεις με τα ισχύοντα συμπεράσματα της μαθηματικής κοινότητας, που αποκλειστικά μεταξύ τους δεν είναι σύμφωνα και όχι δεν είναι σύμφωνα με τους δικούς μου ισχυρισμούς. Τίποτα δικό μου δεν λέω, ώστε καλέ μου κύριε karaf να αναγκαστώ να ανακαλέσω. Ίσως θα έπρεπε, αν ισχύει το περί διδακτικής θυσίας που λέτε, να έπρεπε να ανακαλέσουν οι συνάδελφοί σας τις «προχειρότητες» (για μένα καθόλου δεν είναι προχειρότητες βέβαια) της διδακτικής και να τις αντικαταστήσουν με την αυστηρότητα στην διδαχή. Εγώ τι σχέση έχω πέραν του αναγνώστη;
Τέλος, επιτρέψτε μου μία μικρή παρατήρηση αγαπητέ μου κύριε karaf.
Αγγλικά γνωρίζω ελάχιστα. Και καλός γνώστης όμως να ήμουν της γλώσσας αυτής, ποτέ δεν θα δεχόμουν να μιλήσω για μαθηματικά σε άλλη γλώσσα. Ούτε είναι νοητό π.χ. δύο έλληνες να διαλέγονται περί τον Ελύτη σε άλλη γλώσσα. Δεν είμαι σωβινιστής, αλλά αισθάνομαι μειονεκτικά να συνεννοούμαστε μεταξύ μας σε τρίτη γλώσσα και ΙΔΙΩΣ για τα μαθηματικά και τις έννοιές τους, που ο Ευκλείδης πρώτος ταξινόμησε και μεθόδευσε σαν μία επιστήμη. Δεν είναι λιγάκι «ζόρικο» κύριε karaf, π.χ. ο Ευκλείδης να μεταφράζεται σε όλες τις γλώσσες του κόσμου και εμείς να αρνιόμαστε τη γλώσσα μας, το ασύγκριτο πλεονέκτημά μας έναντι όλων δηλαδή, όταν μάλιστα σας διακρίνω σε μεγάλη επάρκεια να την κατέχετε;
Θα σας παρακαλέσω λοιπόν θερμά, αν έχετε τέτοια καλοσύνη να διατυπώσετε, για χάρη μου, τους ορισμούς στους οποίους αναφερόμαστε από κοινού, να το κάνετε στα ελληνικά. Μόνον έτσι θα διαπιστώσω να υπάρχει πραγματική διαφορά μεταξύ των διατυπώσεων των έγκριτων συναδέλφων σας και των αυστηρών ορισμών, για να μην μπλέξουμε στο «εννοεί αυτό» ή «εννοεί το άλλο», χωρίς κανέναν λόγο.
Πέντε ή έξι ορισμοί είναι όλοι κι όλοι και ένα αξίωμα, αυτό του εμβαδού. Σας παρακαλώ λοιπόν, καταθέστε τους στα ελληνικά, να δούμε αν είναι πρόσχημα η αγωγή στο θυσιαστήριο ή έχει κάποια πραγματική και σημαντική διαφοροποίηση το διδασκόμενο, από το ελλείπον αυστηρό των ορισμών.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Απλό πρόβλημα στο πλαίσιο της θεωρίας συνόλων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 05 Φεβ 2011, 05:44 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 22 Ιαν 2009, 21:24
Δημοσ.: 176
Όσο προχωράει η κουβέντα τίθενται όλο και περισσότερα θέματα, στα οποία αν επιχειρήσω να σας απαντήσω, θα χαθεί ο αρχικός προσανατολισμός της συζήτησης μας. Αν λοιπόν κρατάτε λίστα με όλα τα ανοικτά μέτωπά μας, προσθέστε το θέμα της διδαχής των μαθηματικών και της θυσίας της αυστηρότητας για διδακτικούς σκοπούς. Το μόνο που έχω να πω για τα "εκτός θέματος" ζητήματα είναι ότι το "Κρατάς κρυμμένα μυστικά και ντοκουμέντα" το έγραψε ο Μούτσης με τον Τριπολίτη για την Μπέλλου.

Επίσης να ξανατονίσω κάτι, ασχέτως από το αν είναι σωστό, αποδεκτό, λάθος, απαράδεκτο, ελιτίστικο ή ο,τιδήποτε άλλο: οι ορισμοί που δίνουν οι συνάδελφοι με σκοπό να διδάξουν μαθηματικά (και τους οποίους επικαλείστε) δεν είναι αυστηροί και σωστοί. Ως εκ τούτου, επαναλαμβάνω με πυγμή, είναι παντελώς άχρηστοι ως εργαλεία για την αυστηρή και αδιαμφισβήτη απόδειξη οποιουδήποτε μαθηματικού θεωρήματος. Οποιουδήποτε.

Θα ξεκινήσω να σας δίνω τους ορισμούς που ζητήσατε. Επειδή όμως μου είναι αδύνατο να ξεκινήσω από το μηδέν (τα αξιώματα) για να φτάσω να σας δείξω ότι οι ορισμοί είναι συνεπείς, θα ξεκινήσω από ένα αυθαίρετο σημείο και θα δομήσω πάνω σε ορισμούς και θεωρήματα έως ότου φθάσουμε στο επιθυμητό αποτέλεσμα. Ο,τιδήποτε δεν καταλαβαίνετε, σε οποιοδήποτε σημείο παρακαλώ να το αναφέρετε, για να προχωρήσουμε προς τα πίσω. Εάν κατανοείτε και αποδέχεστε όλα όσα γράφω, θα προχωρούμε στην επόμενη έννοια. Το μόνο που σας παρακαλώ, είναι να είστε σαφής και ακριβής στους όρους τους οποίους θέλετε επεξήγηση.

Ο ορισμός του πολυγωνικού χωρίου, προαπαιτεί κάποιους ορισμούς. Ξεκινώ με τον πρώτο και κάποια παραδείγματα. Επισημάνετέ μου που θέλετε να σταθώ περισσότερο, ή εάν επιθυμείτε να προχωρήσω.

Ορισμός 1
Έστω n\in\mathbb{Z}, I:=[0,n]\subset\mathbb{R} ένα κλειστό διάστημα πραγματικών αριθμών και n+1 διακριτά σημεία (x_0,y_0),(x_1,y_1),\ldots (x_n,y_n)\in\mathbb{R}^2 . Ορίζουμε πολυγωνική γραμμή με κορυφές τα σημεία (x_0,y_0),(x_1,y_1),\ldots (x_n,y_n)\in\mathbb{R}^2 την εικόνα της συνάρτησης \gamma:I\rightarrow\mathbb{R}^2, που ορίζεται από τις σχέσεις \gamma\mid_{[i,i+1]}(t)=(x_i,y_i)(1-t)+(x_{i+1},y_{i+1})t,\;\forall\;i=0,1,\ldots,n.

Παρατήρηση
Παρατηρήστε ότι \forall\;i=1,2,\ldots,n+1 ισχύει \gamma\mid_{[i-1,i]}(i)=\gamma\mid_{[i,i+1]}(i)=(x_i,y_i)

Παραδείγματα 1
α)Εάν n=1, τότε η πολυγωνική γραμμή με (n+1=2) κορυφές τα σημεία (0,0) και (1,1) είναι απλώς το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα εν λόγω σημεία. Για κάθε σημείο (a,b)του ευθυγράμμου τμήματος υπάρχει t\in[0,1]=I τέτοιο ώστε \gamma(t)=(a,b).
β) Εάν n=2 τότε η πολυγωνική γραμμή με (n+1=3) κορυφές τα σημεία (0,0),(0,1) και (1,1) αποτελείται από τα ευθύγραμμο τμήματα που ενώνουν το (0,0) με το (0,1) και το (0,1) με το (1,1). Για κάθε σημείο (a,b)του πρώτου ευθυγράμμου τμήματος υπάρχει t\in[0,1] τέτοιο ώστε \gamma\mid_{[0,1]}(t)=(a,b), ενώ για κάθε σημείο (c,d) του δεύτερου ευθύγραμμου τμήματος υπάρχει s\in[1,2] τέτοιο ώστε \gamma\mid_{[1,2]}(s)=(c,d). Παρατηρήστε ότι για το σημείο (0,1) έχουμε \gamma\mid_{[0,1]}(1)=(0,0)0+(0,1)1=(0,1)1+(1,1)0=\gamma\mid_{[1,2]}(1).


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Απλό πρόβλημα στο πλαίσιο της θεωρίας συνόλων
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 05 Φεβ 2011, 13:45 
Χωρίς σύνδεση
Banned

Εγγραφή: 20 Απρ 2010, 12:39
Δημοσ.: 278
Αγαπητέ κύριε karaf θέλω αρχικά να σας ευχαριστήσω πολύ για το μάθημα που μου δώσατε (ότι η βιασύνη εμπεριέχει τη δυνατότητα του εύκολου λάθους) σχετικά με το τραγούδι. Ξεροκατάπια από αμηχανία και έκπληξη για το λάθος μου. Διορθώσατε έναν μουσικό και χάρηκα πραγματικά σαν να διόρθωνα εγώ εσάς στα μαθηματικά, χωρίς βέβαια να αποκλείω και το ενδεχόμενο να είσαστε κι εσείς σχετικός και με την μουσική και με τα τραγούδια και ίσως σχετικότερος από μένα. Τα μαθηματικά δεν αποκλείουν την τέχνη. Λυπάμαι για το λάθος που έκανα, αλλά αυτό δεν μειώνει ούτε απενεργοποιεί βέβαια το νόημα του στίχου.
Τώρα σε ότι αφορά τα θέματα που πλαταίνουν το εύρος της συζήτησης θέλω να σας πω ότι δεν τα εισάγω. Κι εγώ επιθυμώ να μην αποπροσανατολίσουμε την συζήτηση από το αρχικό πρόβλημα που αφορά τη σύγκριση των εμβαδών μεταξύ των δύο τετράγωνων χωρίων και της μίας πολυγωνικής επιφάνειας.
Προς το παρόν, το μόνο βέβαιο είναι, πως όπως συμφωνήσατε, τα δύο πολυγωνικά (τετράγωνα) χωρία, δεν αποδεικνύονται ισεμβαδικά με την μία πολυγωνική επιφάνεια του προβλήματος.
Εσείς ισχυρίζεστε ότι η αυστηρή διατύπωση των ορισμών (τι θα πει όμως αυστηρή διατύπωση όταν ο ορισμός είναι ερμηνεία έννοιας;) θα καταστήσει τα μη ισεμβαδικά, ισεμβαδικά. Μέλλει να το διαπιστώσουμε και χαίρομαι που δεν αποδίδετε πλέον σε μένα την απόδειξη της μη ισεμβαδικότητας, αλλά στις μη σωστές διατυπώσεις όλων των συναδέλφων σας που επικαλέστηκα.
Θα δεχθώ λοιπόν, για την πρόοδο της συζήτησης και για να μη φύγουμε από το θέμα μας, ότι ισχύει αυτό που λέτε (χωρίς να εξετάσω το γιατί), ότι δηλαδή: «Οι ορισμοί που δίνουν οι συνάδελφοι με σκοπό να διδάξουν μαθηματικά δεν είναι αυστηροί και σωστοί».
Αυτό όμως είναι δεκτικό μίας σημαντικής παρατήρησης ότι οι μαθητές στο λύκειο διδάσκονται μη αληθή μαθηματικά και δεν ομολογείται σε κανέναν. Δεν διακρίνω διαφορά μεταξύ του μη αυστηρού και του μη σωστού, αφού ο ίδιος λέτε ότι δεν είναι σωστοί. Το αυστηρό και το μη αυστηρό δεν παίζουν κανένα ρόλο. Το αληθές είναι ότι λέτε ξεκάθαρα πως οι ορισμοί των συναδέλφων σας δεν είναι σωστοί και υπάρχουν σωστότεροι. Τώρα, ποιος θα δώσει λόγο για την απόφαση να διδάσκονται λάθη σαν ορθά (και το κλείνω σαν θέμα) σε αυτά τα παιδιά, είναι άλλο θέμα.
Με αφορμή αυτή την παρατήρηση (και επειδή θεωρώ ότι οι συνάδελφοί σας καθόλου δεν κάνουν λάθος ή διδάσκουν πρώτα το σφαλερό για να διδάξουν αργότερα το ορθό) θα καταθέσω ένα απλό αίτημα για να το διαπιστώσουμε ευκολότατα.
Όπως οι συνάδελφοί σας μου έδωσαν ακριβώς - μέσω των περιγραφών τους που είναι βατοί και κατανοητοί - να καταλάβω τι είναι «πολυγωνικό χωρίο», «πολυγωνική επιφάνεια», «παράσταση συνόλου», « ισότητα εμβαδών» κ.τ.λ. ώστε να τους (και τα) επικαλούμαι, το ίδιο επιθυμώ να κάνετε κι εσείς. Ήτοι για να μην αναγκαστώ να διαβάζω (με την ανεπάρκεια ενός μη μαθηματικού) τα σύμβολα της θεωρίας συνόλων και να τα μεταφράζω σχηματίζοντας προτάσεις, παρακαλώ αυτά ακριβώς που μου γράφετε με τα σύμβολα θα ήθελα να μου τα διαβάσετε, διότι έχουν ανάγνωση. Έτσι θα με ευκολύνετε να καταλάβω ακριβώς τι λένε σύμφωνα με την ανάγνωσή σας ώστε να μπορέσω να διακρίνω (να εντοπίσω και να κατανοήσω ) τις διαφορές μεταξύ μη σωστού (των συναδέλφων σας) και σωστού εκ της αυστηρότητας.
Π.χ. ξεκινάτε τον ορισμό 1, «έστω n αριθμός που ανήκει στους φυσικούς (Ζ)».
Έτσι παρακαλώ να συνεχίσετε σε όλες τις συμβολικές παραστάσεις σας μέχρι το τέλος «διαβάζοντας αυτό που συμβολίζετε». Φρονώ είναι πολύ πιο εύκολο από να τις διατυπώνετε με τα σύμβολα και ας είναι τα σύμβολα «κομψότερη» διατύπωση, αφού τα σύμβολα αυτά καθαυτά διαβάζονται ή σκοπό και ρόλο έχουν να διαβάζονται.
Ελπίζω κύριε karaf να μη σας είναι δύσκολο να ικανοποιήσετε το αίτημά μου, διότι υποψιάζομαι πως μέσα στους συμβολισμούς, χωρίς την αναγκαία ανάγνωσή τους μπορούν να κρυφτούν ή αν το προτιμάτε να επικαλυφθούν αδιαφανώς (όχι από σας και πολύ περισσότερο όχι σκόπιμα), απορίες, εκδοχές και διλήμματα. Αυτό που ζητώ είναι να διαβάσετε στα ελληνικά, ακριβώς αυτά που μου γράφετε με τα σύμβολα και με την καλή ευκαιρία αφού αρχίζετε με το έστω n αριθμός που ανήκει στου φυσικούς, θα ήθελα και τον ορισμό του αριθμού. Όχι του φυσικού αριθμού, αλλά του αριθμού. Θέλω (για λίγο αργότερα) να διαπιστώσω τις ιδιότητες που αναγνωρίζετε στον αριθμό σύμφωνα με τον ορισμό που σας ζητώ να μου δώσετε, όταν αυτός ευρίσκεται και επί τον άξονα R και αν τηρούνται αυτές οι ιδιότητες. Το ίδιο αίτημα καταθέτω και για την έννοια του μηδενός. Δεν θα μπορέσουμε να μιλήσουμε για τον R χωρίς ορισμούς των εννοιών αριθμός και μηδέν .
Προς το παρόν και για να μη φύγουμε από το θέμα μας, μου αρκεί η απλή ανάγνωση των όσων συμβολίζετε, να τα δω γραμμένα από εσάς τον ίδιο, ώστε να μην επικαλούμαστε άλλους.
Και πάλι ευχαριστώ πολύ για την διόρθωση που μου κάνατε και καλά μου κάνατε.
ΥΓ: Βέβαια κρατώ τα θέματα που εκκρεμούν σύμφωνα με την υπόδειξή σας.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 80 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2, 3, 4, 5, 6

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group