forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 11 Δεκ 2017, 05:58

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 1 δημοσίευση ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Οι μεγάλοι κάνουν λάθη
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Αύγ 2009, 11:03 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 01 Ιουν 2008, 21:18
Δημοσ.: 1160
Τοποθεσια: Αθήνα
Cauchy, Cours d’analyse (1821, σελίδα 120)

Παράθεση:
Έστω S μια συγκλίνουσα άπειρη σειρά συνεχών συναρτήσεων, S(x)=f_1(x)+f_2(x)+f_3(x)+\cdots, έστω S_n το μερικό άθροισμα των πρώτων n όρων, S_n(x)=f_1(x)+f_2(x)+\cdots +f_n(x),και έστω R_nτο υπόλοιπο, R_n(x)=S(x)-S_n(x)=f_{n+1}(x)+f_{n+2}(x)+\cdots. Ακριβώς όπως εξετάζουμε το πρόβλημα της σύγκλισης μιας σειράς εξετάζοντας τη σύγκλιση των μερικών αθροισμάτων της, έτσι σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε το πρόβλημα της συνέχειας, της παραγωγισιμότητας και της ολοκληρωσιμότητας μέσω της ακολουθίας των μερικών αθροισμάτων της. Η S_nείναι πεπερασμένο άθροισμα συνεχών συναρτήσεων, άρα συνεχής. Ας θεωρήσουμε τη μεταβολή αυτών των τριών συναρτήσεων καθώς αυξάνουμε το x κατά μία μικρή τιμή a. Για όλες τις δυνατές τιμές του n, η μεταβολή της S_n(x) θα είναι απειροελάχιστη. Η μεταβολή της R_n(x) θα είναι ανεπαίσθητα μικρή όπως και το μέγεθος της R_n(x) όταν το n γίνει πολύ μεγάλο. Έπεται ότι η μεταβολή της συνάρτησης S(x) είναι μια απειροελάχιστη ποσότητα. Από αυτή την παρατήρηση προκύπτει άμεσα η επόμενη πρόταση:

Θεώρημα 1 Όταν οι όροι μιας σειράς είναι συναρτήσεις μιας μεταβλητής x και είναι συνεχείς ως προς αυτή τη μεταβλητή στην περιοχή μιας συγκεκριμένης τιμής, τότε το άθροισμα S(x) αυτής της σειράς είναι επίσης, στην περιοχή αυτού του σημείου, συνεχής συνάρτηση του x.

Ο Cauchy απέδειξε λοιπόν ότι άπειρο άθροισμα συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής συνάρτηση. Το λάθος υποδείχτηκε από τον Niels Abel (το 1826) σε μια υποσημείωση, μέσω της σειράς Fourier \cos (\pi x/2)-\frac{\cos (3\pi x/2)}{3}+\frac{\cos (5\pi x/2)}{5}-\frac{\cos (7\pi x/2)}{7}+\cdotsΟ Cauchy διόρθωσε το σφάλμα του το 1853.

Από το βιβλίο «A radical approach to real analysis», David Bressoud (MAA, 2006)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 1 δημοσίευση ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group