forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 20 Σεπ 2018, 19:59

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 8 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Υπολογισμός lt/cm ύψους οριζόντιου κυλίνδρου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Νοέμ 2010, 22:32 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 23 Νοέμ 2010, 22:20
Δημοσ.: 4
Καλησπέρα σε όλους, καταρχήν δεν είμαι μαθηματικός, τελειώνω την Παρασκευή Μηχανολόγος στο ΤΕΙ Κοζάνης οπότε δεν διαθέτω το επίπεδό σας στα μαθηματικά. Ωστόσο θα ήθελα να ρωτήσω πως μπορώ να υπολογίσω πόσα lt ρευστού αντιστοιχούν σε κάθε cm ύψους ενός κυλίνδρου όταν όμως αυτός είναι τοποθετημένος οριζόντια.
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Υπολογισμός lt/cm ύψους οριζόντιου κυλίνδρου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Νοέμ 2010, 10:35 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 23 Νοέμ 2006, 10:32
Δημοσ.: 1888
Εικόνα

Αρκεί να υπολογίσεις το εμβαδόν του παραπάνω κυκλικού τομέα μείον το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει του x.

\phi = acos\Left(\frac{R-x}{R}\Right) = acos\Left(1-\frac{x}{R}\Right)

Εμβαδόν κυκλικού τομέα (\phi σε rad):
E_1=\frac{1}{2}2\phi R^2=\phi R^2

Εμβαδόν τριγώνου:
E_2=\frac{1}{2}2\sqrt{R^2-(R-x)^2}(R-x)

Εμβαδόν χωρίου που μας ενδιαφέρει:
E_3=E_1-E_2 = \phi R^2 - \sqrt{R^2-(R-x)^2}(R-x)=\phi R^2 - (R-x)\sqrt{2Rx-x^2}

Πολλαπλασιάζουμε και με το μήκος του κυλίνδρου για να βρούμε τον όγκο που ψάχνεις συναρτήσει του ύψους x, οπότε ο τελικός τύπος είναι:
E=hR^2 acos\Left(1-\frac{x}{R}\Right)-(R-x)\sqrt{2Rx-x^2}

Αν θες να υπολογίσεις lt ανά cm βάζεις x=1 και το αποτέλεσμα το διαιρείς με 1000 για να υπολογίσεις τον όγκο σε lt.

_________________
"Πριν ξεκινήσουμε να συζητάμε, πρέπει πρώτα να ορίζουμε τις έννοιες για να μπορέσουμε να συνεννοηθούμε" - Σωκράτης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Υπολογισμός lt/cm ύψους οριζόντιου κυλίνδρου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Νοέμ 2010, 20:34 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 23 Νοέμ 2010, 22:20
Δημοσ.: 4
Παράθεση:
Πολλαπλασιάζουμε και με το μήκος του κυλίνδρου για να βρούμε τον όγκο που ψάχνεις συναρτήσει του ύψους x, οπότε ο τελικός τύπος είναι:
E=hR^2 acos\Left(1-\frac{x}{R}\Right)-(R-x)\sqrt{2Rx-x^2}

Αν θες να υπολογίσεις lt ανά cm βάζεις x=1 και το αποτέλεσμα το διαιρείς με 1000 για να υπολογίσεις τον όγκο σε lt.


Καταρχήν ευχαριστώ για τον χρόνο σου eliascm21. Να ρωτήσω όμως κάτι :Στο acos... τι είναι το ΄΄a΄;
Επίσης όταν λες ότι το ΄΄χ΄΄ πρέπει να το βάλω ίσο με 1 , ο τύπος θα μου δώσει πόσα lt αντιστοιχούν σε 1 cm ; όμως στην περίπτωσή μας δεν χωράει τα ίδια lt κάθε cm αφού όσο ανεβαίνουμε σε ύψος μεγαλώνει ο όγκος. Τι συμβαίνει ;
Και ακόμα αν ο τύπος βγάζει m^3 τότε θα πρέπει να πολλαπλασιάσω με 1000 για να γίνουν lt και όχι να διαιρέσω, έτσι δεν είναι ;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Υπολογισμός lt/cm ύψους οριζόντιου κυλίνδρου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Νοέμ 2010, 23:41 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 24 Ιουν 2010, 18:38
Δημοσ.: 79
Λογικά το acos, είναι ArcCos( \theta ) δήλαδή τόξο συνημιτόνου γωνίας \theta. Το x μπορεί να πάρει τιμές μεταξύ 0 \leq x \leq 2R και να 'τρέχει' πάνω στην διάμετρο του κυκλικού δίσκου, που είναι και το ύψος του οριζόντιου κυλίνδρου πλέον και το h είναι το μήκος του κυλίνδρου.
Αν δεν κάνω λάθος, αν είναι το x, R σε cm τότε το αποτέλεσμα θα είναι σε κυβικά cm. Αν το x, R είναι σε m τότε το αποτέλεσμα θα είναι σε κυβικά μέτρα. Τώρα 10^3 cm^3 = 1 lt = 10^{-3} m^3. (Αυτά φαίνονται αν γραφούν οι διαστάσεις τις εξίσωσης)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Υπολογισμός lt/cm ύψους οριζόντιου κυλίνδρου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 26 Νοέμ 2010, 00:09 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 23 Νοέμ 2006, 10:32
Δημοσ.: 1888
Όπως τα λέει ο xpapmath. Αν βάλεις το x και την ακτίνα σε cm, το αποτέλεσμα θα βγει σε cm^3 οπότε θα πρέπει να το διαιρέσεις με το 1000 για να έχεις λίτρα.

Γιώργος Αγγελόπουλος έγραψε:
Επίσης όταν λες ότι το ΄΄χ΄΄ πρέπει να το βάλω ίσο με 1 , ο τύπος θα μου δώσει πόσα lt αντιστοιχούν σε 1 cm ; όμως στην περίπτωσή μας δεν χωράει τα ίδια lt κάθε cm αφού όσο ανεβαίνουμε σε ύψος μεγαλώνει ο όγκος. Τι συμβαίνει ;
Ναι επειδή η σχέση δεν είναι γραμμική δεν μπορείς να πεις τόσα λίτρα ανά cm, γιατί κάθε cm δεν χωράει την ίδια ποσότητα. Οπότε για x=1 βγάζεις απλά για το πρώτο εκατοστό ύψους, χωρίς να μπορείς να πεις "άρα για 5cm πολλαπλασιάζω το προηγούμενο επί 5 και βρήκα τον νέο όγκο". Για κάθε x πρέπει να εφαρμόζεις τον τύπο.

_________________
"Πριν ξεκινήσουμε να συζητάμε, πρέπει πρώτα να ορίζουμε τις έννοιες για να μπορέσουμε να συνεννοηθούμε" - Σωκράτης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Υπολογισμός lt/cm ύψους οριζόντιου κυλίνδρου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Δεκ 2010, 21:59 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 23 Νοέμ 2010, 22:20
Δημοσ.: 4
Ευχαριστώ για την βοήθεια, έβαλα την σχέση στο excel και δουλεύει μια χαρά, όμως μήπως ξέρετε πως υπολογίζεται στο χέρι ή σε επιστημονικό κομπιουτεράκι το acosθ ;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Υπολογισμός lt/cm ύψους οριζόντιου κυλίνδρου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Δεκ 2010, 22:28 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 24 Ιουν 2010, 18:38
Δημοσ.: 79
Γιώργος Αγγελόπουλος έγραψε:
Ευχαριστώ για την βοήθεια, έβαλα την σχέση στο excel και δουλεύει μια χαρά, όμως μήπως ξέρετε πως υπολογίζεται στο χέρι ή σε επιστημονικό κομπιουτεράκι το acosθ ;


Θα το βρείς και ως: cos^{-1}(x) σε κάποια κομπιουτεράκια.
Ουσιαστικά είναι: ArcCos(x) = \int^{1}_{x}{\frac{-1}{\sqrt{1-y^2}}}dy, -1\leq x \leq1.

Δες και εδώ: http://www.wolframalpha.com/input/?i=arc+cos%28x%29


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Υπολογισμός lt/cm ύψους οριζόντιου κυλίνδρου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 14 Δεκ 2010, 22:12 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 23 Νοέμ 2010, 22:20
Δημοσ.: 4
Ευχαριστώ και πάλι για την βοήθεια.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 8 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group