forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 15 Δεκ 2017, 16:10

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 177 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα 1, 2, 3, 4, 5 ... 12  Επόμενο
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Θεωρημα ή Αξιωμα 2
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Μάιος 2008, 20:20 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 16 Φεβ 2007, 23:07
Δημοσ.: 537
Τοποθεσια: Κυψελη
Υπαρχουν παρα πολλες περιπτωσεις στις οποιες τα Μαθηματικα κανουν χρηση των οριων.

Στα ολοκληρωματα, στις σειρες, στις ακολουθιες, στους περιοδικους δεκαδικους αριθμους κ.λ.π.

Σε ολες αυτες τις περιπτωσεις θεωρειται "δεδομενο" οτι ειναι δυνατο να αναγραφουν ολοι οι οροι των παραστασεων αυτων...

Δηλαδη θεωρειται "δεδομενο" οτι επειδη μπορουμε να αναγραφουμε 5 ή 10 ή 50 ή 100... ορους, αρα μπορουμε να τους αναγραφουμε τελικα ολους και ετσι να φτανουμε στο οριο...

Θεωρειται δηλαδη "δεδομενο" οτι μπορουμε να ακολουθουμε εξαντλητικα ή να επαναλαμβανουμε εξαντλητικα μια πεπερασμενη διαδικασια...

Φαινεται δηλαδη οτι ισχυει η ακολουθη προταση :

    Ειναι εφικτη πραγματικα η εξαντλητικη επαναληψη μιας συγκεκριμενης και πεπερασμενης διαδικασιας
Τι λετε ;

Υπαρχει πραγματικα σε ισχυ αυτη η προταση ;

Και αν ναι, ποια ειναι η πηγη της ισχυος της ;

Δηλαδη ειναι Θεωρημα ή Αξιωμα ;

_________________
Τα Μαθηματικα Ειναι ""Ασχετα"" Με Την Πραγματικοτητα


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Μάιος 2008, 20:26 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 27 Οκτ 2006, 14:53
Δημοσ.: 567
Αν θέσετε ένα συγκεκριμένο ερώτημα, να προσπαθήσουμε να σας απαντήσουμε.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 05 Μάιος 2008, 22:12 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 16 Φεβ 2007, 23:07
Δημοσ.: 537
Τοποθεσια: Κυψελη
zoi έγραψε:
Αν θέσετε ένα συγκεκριμένο ερώτημα, να προσπαθήσουμε να σας απαντήσουμε.

Μα νομιζω οτι εθεσα 4 ερωτηματα στην αρχικη μου δημοσιευση...

Παράθεση:
Φαινεται δηλαδη οτι ισχυει η ακολουθη προταση :


Ειναι εφικτη πραγματικα η εξαντλητικη επαναληψη μιας συγκεκριμενης και πεπερασμενης διαδικασιας

Τι λετε ;

Υπαρχει πραγματικα σε ισχυ αυτη η προταση ;

Και αν ναι, ποια ειναι η πηγη της ισχυος της ;

Δηλαδη ειναι Θεωρημα ή Αξιωμα ;




Ωστοσο επειδη μαλλον αυτα δυσκολευουν φαινεται τα πραγματα, επαναδιατυπωνω πιο ειδικα το ερωτημα :

Στα ολοκληρωματα, στις σειρες, στις ακολουθιες, στους περιοδικους δεκαδικους αριθμους κ.λ.π., θεωρειται "δεδομενο" οτι ειναι δυνατο να αναγραφουν ολοι οι οροι των παραστασεων αυτων...

Απο που πηγαζει λοιπον αυτη η δυνατοτητα, οταν γνωριζουμε οτι το ανθρωπινο ον ειναι πεπερασμενο στις ενεργειες του και στη διαρκεια του ;

Ειναι μια βεβαιοτητα που προκυπτει απο καποιους μαθηματικους ( λογικους ) συλλογισμους ( Θεωρημα ) ή τη λαμβανουμε ως βεβαιοτητα ισχυουσα αναποδεικτως ( Αξιωμα ) για να μπορεσουμε να προχωρησουμε στην οικοδομηση των μαθηματικων μας συστηματων ;

_________________
Τα Μαθηματικα Ειναι ""Ασχετα"" Με Την Πραγματικοτητα


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 06 Μάιος 2008, 00:58 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 01 Δεκ 2006, 00:05
Δημοσ.: 2268
skapaneas έγραψε:
θεωρειται "δεδομενο" οτι ειναι δυνατο να αναγραφουν ολοι οι οροι των παραστασεων αυτων... [/b]

Το να αναγραφουν ολοι οι οροι ειναι κατι τελειως διαφορετικο απο το να υπαρχουν πραγματι απειροι οροι που ομως να συγκλινουν καπου. Οταν ξεφυγαμε απο τα αντικειμενα που βλεπαμε στη φυση τοτε τα μαθηματικα αρχισαν να γινονται επιστημη. Οταν μιλησαμε για αρρητους. Οταν καταλαβαμε οτι κατι απειρο μπορει να "κλειστει" μεσα σε κατι πεπερασμενο. Απο αναλογες σκεψεις ξεκινησε και ο απειροστικος λογισμος.
Το οτι καποια ορια οντως συγκλινουν αποδεικνυεται εντος του αξιωματικου συστηματος που χρησιμοποιουμε. Αρα ειναι θεωρημα και οχι αξιωμα.
Το αν "ειναι εφικτη πραγματικα η εξαντλητικη επαναληψη μιας συγκεκριμενης και πεπερασμενης διαδικασιας" δεν ειναι καλα διατυπωμενο ερωτημα μιας και δεν ειναι ξεκαθαρο το τί σημαινει "εφικτη".

_________________
Of Mice anf Jazz


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 06 Μάιος 2008, 10:42 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 16 Φεβ 2007, 23:07
Δημοσ.: 537
Τοποθεσια: Κυψελη
zozef έγραψε:
Το να αναγραφουν ολοι οι οροι ειναι κατι τελειως διαφορετικο απο το να υπαρχουν πραγματι απειροι οροι που ομως να συγκλινουν καπου. Οταν ξεφυγαμε απο τα αντικειμενα που βλεπαμε στη φυση τοτε τα μαθηματικα αρχισαν να γινονται επιστημη. Οταν μιλησαμε για αρρητους. Οταν καταλαβαμε οτι κατι απειρο μπορει να "κλειστει" μεσα σε κατι πεπερασμενο. Απο αναλογες σκεψεις ξεκινησε και ο απειροστικος λογισμος.
Το οτι καποια ορια οντως συγκλινουν αποδεικνυεται εντος του αξιωματικου συστηματος που χρησιμοποιουμε. Αρα ειναι θεωρημα και οχι αξιωμα.
Το αν "ειναι εφικτη πραγματικα η εξαντλητικη επαναληψη μιας συγκεκριμενης και πεπερασμενης διαδικασιας" δεν ειναι καλα διατυπωμενο ερωτημα μιας και δεν ειναι ξεκαθαρο το τί σημαινει "εφικτη".

Ας ξεκινησω απο το νοημα της λεξης εφικτος, αλλά και μερικων ακομα, που περιλαμβανονται στην παραπανω διατυπωση
Συμφωνα λοιπον με το ερμηνευτικο λεξικο εφικτος σημαινει : προσιτος, κατορθωτος, που μπορει να γινει, ο δυνατος

Και ακομα εννοω :
συγκεκριμενος : αυτος που μπορει να περιγραφει καλα και κατανοητα
πεπερασμενος : αυτος ο οποιος μπορει να συμβει σε μετρησιμο χρονο
πραγματικα : πρακτικα
εξαντλητικα : μεχρι τελους

Η παραπανω προταση λοιπον ξαναγραφεται ως εξης :

ειναι κατορθωτη πρακτικα η μεχρι τελους επαναληψη μιας καλα περιγραφομενης και κατανοητης οσο και μετρησιμης χρονικα διαδικασιας

Η ιδια προταση μπορει να διατυπωθει και ερωτηματικα :

ειναι κατορθωτη πρακτικα η μεχρι τελους επαναληψη μιας καλα περιγραφομενης και κατανοητης οσο και μετρησιμης χρονικα διαδικασιας ;

Η μεχρι τελους επαναληψη μιας διαδικασιας υπονοει, το πολυ μεγαλο πληθος ( επαναληψεων ) το οποιο αποδιδεται συνηθως με τη λεξη απειρο.

Εφ΄οσον ο ανθρωπος ειναι πεπερασμενος χρονικα και επομενως δεν εχει τη δυνατοτητα προσωπικα να φτασει στο τελος μιας επαναλαμβανομενης διαδικασιας που τον υπερβαινει χρονικα, τοτε πως μπορει να ειναι σιγουρος οτι αυτη η διαδικασια φτανει στο τελος της με τον ιδιο τροπο οπως ξεκινησε ;

Και κυριως πως ειναι βεβαιος οτι αυτη η διαδικασια, δινει παντα το "αυτο" αποτελεσμα ακομα και για "ορους" ( αποτελεσματα της επαναλαμβανομενης διαδικασιας ) οι οποιοι βρισκονται πολυ περα απο τις δικες του διαπιστωτικες δυνατοτητες ;

Οταν γραφουμε για παραδειγμα μερικους απο τους ορους μιας ακολουθιας με βαση το λεγομενο γενικο της τυπο, τον εφαρμοζουμε για συγκεκριμενες τιμες του ν ( 1, 2, 3, 4, ... ) και βλεπουμε τη μορφη τους καταγραμενη και συγκρισιμη με τις μορφες των αλλων ορων.

Απο που αντλουμε τη βεβαιοτητα οτι οσες φορες και αν επαναλαβουμε τη διαδικασια αναλυτικης αναγραφης των ορων της ακολουθιας, τα αποτελεσματα θα ειναι παντοτε συγκρισιμα ή "ομοια" μεταξυ τους ;

Αυτη η βεβαιοτητα μας, η οποια μας επιτρεπει να "προσεγγιζουμε" και τις μορφες των ορων της ακολουθιας για πολυ μεγαλες τιμες του ν, απο που προερχεται ;

Ειναι κατι που αποδεικνυεται με συγκεκριμενο και κατανοητο τροπο ή το δεχομαστε αξιωματικα, προκειμενου να προχωρησουμε, γιατι δεν μπορουμε να κανουμε διαφορετικα ;

Το οτι υπαρχουν οι απειροι οροι π.χ. μιας ακολουθιας ειναι ενα πραγμα και αυτο οφειλεται στο οτι υπαρχουν ( ; ) απειρες τιμες του φυσικου αριθμου ν.

Το να ειναι "ομοιοι" οι οροι αυτοι μεταξυ τους ειναι ενα αλλο πραγμα και αυτο μονο με αμεση συγκριση τους ( των ορων ) μπορει να εξακριβωθει.

Το πρωτο ( απειροι φυσικοι αριθμοι ) αποδεικνυεται εξ αιτιας της "βεβαιοτητας" που δεχομαστε ( αξιωματικα ) οτι μας παρεχει αποδεικτικα η μεθοδος της τελειας επαγωγης.

Το δευτερο ομως, οτι δηλαδη οι οροι θα ειναι παντοτε της αυτης δομης, οσο μεγαλη και αν γινει τιμη του ν, που ακριβως στηριζεται ;

Διοτι αν δεν υπαρχει αυτη η βεβαιοτητα, τοτε δεν μπορουμε να μιλαμε για ακολουθια...

Αυτη η βεβαιοτητα λοιπον ειναι Θεωρημα ή Αξιωμα ;

_________________
Τα Μαθηματικα Ειναι ""Ασχετα"" Με Την Πραγματικοτητα


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Μάιος 2008, 00:26 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 01 Δεκ 2006, 00:05
Δημοσ.: 2268
Kε.Σκαπανεα, τα ερωτηματα σας, οπως τα καταλαβαινω τουλαχιστον, ειναι κυριως φιλοσοφικα και οχι αυστηρα μαθηματικα. Κι αυτο γιατι οπως ειπα και πριν τα αποτελεσματα για τα οποια εχετε ενστασεις εχουν αποδειχθει μαθηματικα εντος συγκεκριμενου αξιωματικου πλαισιου. Σας παραπεμπω στη "βιβλο" Απειροστικος Λογισμος (Νεγρεποντης, Γιαννακουλιας, Ζαχαριαδης)
Το αμα στο απειρο οι οροι ειναι "παρομοιοι" δεν ειναι κατι που πρεπει να σας ανησυχει, ολοι οι οροι ειναι απολυτως καθορισμενοι απο τον τροπο που ορισαμε την εκαστωτε ακολουθια

_________________
Of Mice anf Jazz


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Μάιος 2008, 00:30 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 01 Μαρ 2006, 19:18
Δημοσ.: 3078
Τοποθεσια: Από δω κι από κεί.
Τα άσχετα ποστ μεταφέρθηκαν και κλειδώθηκαν. Χαλαρώστε όλοι με τους χαρακτηρισμούς, τις ειρωνείες και τα flames. :x

_________________
Γι' αυτό σου λέω.
Την άλλη φορά που θα μας ρίξουνε
να μην την κοπανήσουμε. Να ζυγιαστούμε.
Μην ξεπουλήσουμε φτηνά το τομάρι μας ρε.
Μη. Βρέχει. Δόσμου τσιγάρο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Μάιος 2008, 13:30 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 16 Φεβ 2007, 23:07
Δημοσ.: 537
Τοποθεσια: Κυψελη
zozef έγραψε:
Kε.Σκαπανεα, τα ερωτηματα σας, οπως τα καταλαβαινω τουλαχιστον, ειναι κυριως φιλοσοφικα και οχι αυστηρα μαθηματικα. Κι αυτο γιατι οπως ειπα και πριν τα αποτελεσματα για τα οποια εχετε ενστασεις εχουν αποδειχθει μαθηματικα εντος συγκεκριμενου αξιωματικου πλαισιου. Σας παραπεμπω στη "βιβλο" Απειροστικος Λογισμος (Νεγρεποντης, Γιαννακουλιας, Ζαχαριαδης)
Το αμα στο απειρο οι οροι ειναι "παρομοιοι" δεν ειναι κατι που πρεπει να σας ανησυχει, ολοι οι οροι ειναι απολυτως καθορισμενοι απο τον τροπο που ορισαμε την εκαστωτε ακολουθια

Ελπιζω να αντιλαμβανεσαι zozef οτι το ερωτημα μου δεν αναφερεται στο απειρο αυτο καθ΄εαυτο...

Διοτι οπως μπορω να αντιληφτω, το απειρο υπαρχει αξιωματικα ως ενας αριθμος ( ; ) μεγαλυτερος παντος φυσικου, κατ΄αρχας !

Το ερωτημα μου αναφερεται στη δικη μας την δυνατοτητα ως ανθρωπινων οντων σκεπτομενων, να διεξελθουμε φυσικα, νοητικα ή πνευματικα ολο αυτο το "διαστημα" εξαντλητικα και να φτασουμε σε αυτο...

Το να φτασουμε στο απειρο δεν εχει την εννοια να παμε "εκει" και να δουμε τι εναι και πως ειναι, αλλά να πραγματοποιησουμε ολα τα αναγκαια προς τουτο "ενδιαμεσα βηματα" προκειμενου να το πετυχουμε.

Και αυτα τα βηματα ειναι... απειρα.

Ας παρουμε για παραδειγμα το γνωστο παραδοξο του Αχιλλεα με τη χελωνα.

Ο Αχιλλεας κατεχει μια συγκεκριμενη θεση ( σημειο παντα ) και η χελωνα ομοιως μια αλλη θεση ( σημειο και αυτη ) ενα μετρο πιο μπροστα απο τον Αχιλλεα σε σχεση με την κατευθυνση της κινησης τους.

Για καθε ενα μετρο που μετακινειται ο Αχιλλεας, μετακινειται μισο μετρο η χελωνα.

Και ο Αχιλλεας δεν προκειται ποτε να φτασει τη χελωνα γιατι αυτη παντοτε θα προηγειται.

Βεβαια οι "αποστασεις" αυτες πρεπει να νοηθουν ως συνολα σημειων διαταγμενων πανω στην αυτη ευθεια γραμμη.

Οσο και να μειωνει ο Αχιλλεας την αποσταση του απο τη χελωνα, αυτη παντοτε θα προηγειται !

Διοτι παντοτε θα υπαρχουν σημεια μπροστα της στα οποια θα μετακινειται προπορευομενη του Αχιλλεα.

Και ετσι οταν ο Αχιλλεας διανυει καθε φορα την αποσταση που τον χωριζει απο τη χελωνα, αυτη θα εχει προχωρησει εν τω μεταξυ ενα ακομα διαστημα, το οποιο ο Αχιλλεας και παλι πρεπει να καλυψει με τη σειρα του...

Εκτος και αν δεχτουμε οτι καποια στιγμη η χελωνα δεν βρει σημεια μπροστα της πανω στην ευθεια ( υπαρχουν χασματα δηλαδη στη διαταξη των σημειων της ), οπότε ο Αχιλλεας μοιραια θα τη φτασει, αφου αυτη θα εχει σταματησει.

Το σχολιο μου σε αυτο το παραδοξο, ειναι οτι δεν γνωριζουμε τι θα γινει, γιατι δεν εχουμε τη χρονικη δυνατοτητα να παρακολουθησουμε τα απειρα βηματα αυτης της διαδικασιας, λογω του πεπερασμενου της ζωης μας.

Εαν θελησουμε να δωσουμε καποια "απαντηση" διαφορετικη, τοτε θα πρεπει να "παραδεχτουμε" οτι :

ειμαστε σε θεση να παρακολουθησουμε ολοκληρη την επαναλαμβανομενη διαδικασια με τα απειρα βηματα της.

Αυτη λοιπον ακριβως η παραδοχη ειναι Θεωρημα ή Αξιωμα ;


Σημειωση
Η κινηση τοσο του Αχιλλεα οσο και της χελωνας, θα πρεπει να θεωρηθει αλματικη...

_________________
Τα Μαθηματικα Ειναι ""Ασχετα"" Με Την Πραγματικοτητα


Τελευταία επεξεργασία απο skapaneas την 07 Μάιος 2008, 19:04, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Μάιος 2008, 14:50 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 12 Μαρ 2006, 23:50
Δημοσ.: 442
Τοποθεσια: Άγιος Στέφανος
Κοίταξε να δεις αυτό που αναφέρεις είναι το παράδοξο του Zήνωνα του Ελεάτη και στηρίζεται στις απαρχές της έννοιας του ορίου δείχνοντας διαισθητικά βεβαίως ότι το όριο είναι ένα συνεχές πλησίασμα στο στόχο, χωρίς κατ' ανάγκη να τον φτάσουμε. Μία φωνή μπορεί να ρωτήσει: "Και πόσο κοντά μπορούμε να πλησιάσουμε;" και μία άλλη απαντάει: "Όσο θέλουμε κοντά." Αλλά εδώ είναι το κλειδί δε μας ενδιαφέρει να τον φτάσουμε. Μας νοιάζει το ταξίδι όχι η Ιθάκη. Αν τώρα φτάσουμε στην Ιθάκη ακόμα καλύτερα. Όπως αντιλαμβάνεσαι αν κάποιος κοιτάξει τον "εψιλοντικό" ορισμό του ορίου πίσω από τα σύμβολα αυτό ακριβώς βλέπει. Δηλαδή αυτά που λένε οι φωνές μεταφράζονται σε μαθηματική γλώσσα.

Η παραδοχή σου έχει κάποια μαθηματικά κενά. Ας πούμε πως ορίζεται η έννοια "ειμαστε σε θεση" με ένα σαφή (μαθηματικό) ορισμό ή ακόμα χειρότερα πως ορίζεται η "διαδικασία" με ένα σαφή (μαθηματικό) ορισμό.

Θα έλεγα επομένως ότι αν δεχτούμε διαισθητικά τις παραπάνω έννοιες αυτό δε θα ήταν ούτε θεώρημα ούτε αξίωμα. Πιο πολύ ως ορισμό μου κάνει.

_________________
Maths are so beautiful as a statue....


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Μάιος 2008, 02:18 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 05 Φεβ 2008, 03:03
Δημοσ.: 424
Αρχικά, περί ορίων.

Διακρίνουμε δύο "τύπους" απείρου, το δυνητικό και το απόλυτο άπειρο. Η διαφορά έγκειται στο πως εμείς χρησιμοποιούμε το άπειρο στα Μαθηματικά. Αναφορικά:
Το δυνητικό άπειρο είναι ένας έμμεσος τρόπος "χειρισμού" του απείρου. Για παράδειγμα, οι φυσικοί αριθμοί είναι άπειροί γιατί, δοθέντος φυσικού αριθμού n, υπάρχει φυσικός αριθμός ο οποίος είναι μεγαλύτερος από αυτόν. Ποιον φυσικο αριθμό θα μπορούσαμε να υποδείξουμε ο οποίος είναι μεγαλύτερος του n; Μπορούμε να επιλέξουμε τον n+1, ο οποίος είναι σίγουρα φυσικός από τα αξιώματα του Peano. Εδώ δεν αναφερόμαστε στο άπειρο καθαυτό αλλά εμμέσως φτάνουμε σε αυτό, λέγοντας το εξής: "Για οποιονδήποτε 'μεγάλο' φυσικό που θα μου δώσεις, εγώ θα μπορώ να βρω έναν ακόμα μεγαλύτερο".

Το απόλυτο άπειρο είναι ο άμεσος χειρισμός του απείρου από τα Μαθηματικά. Η στροφή αυτή στην άμεση μελέτη του απείρου ξεκινά περίπου με τον Cantor και δημιουργεί ξεσηκωμούς. Τα αποτελέσματα του Cantor (π.χ. οι πραγματικοί είναι "περισσότεροι" από τους φυσικούς) δεν έχουν ψεγάδι στον τρόπο με τον οποίο αποδεικνύονται, αλλά η κάποια παραδοξότητα που συναντάται σε αυτά οδηγεί κάποιους μαθηματικούς στο να μην δέχονται την εισαγωγή του απείρου στα Μαθηματικά.

Επί του θέματος: στα όρια δεν χρησιμοποιούμε το απόλυτο άπειρο, αλλά το δυνητικό. Δεν δείχνουμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης [tex]f(x)=\frac {1}{x}[/tex] θα τμήσει τον άξονα των x, αφού άλλωστε κάτι τέτοιο δεν συμβαίνει. Όπως είπε και πριν ο stelvit, η διαδικασία είναι η εξής: "Δωσε μου έναν αριθμο, μία απόσταση απο το 0 και εγώ θα σου δείξω ότι η [tex]\frac {1}{x}[/tex] κάποτε θα 'πέσει' κάτω από αυτή". Η διαδικασία δεν επαναλαμβάνεται μέχρι τέλους, άλλωστε δεν υπάρχει τέλος. Αφού όμως μπορούμε να πάμε "όσο κοντά θέλουμε" στο 0, τότε λέμε ότι οριακά, στο άπειρο, [tex]\lim_{x\to \infty}\frac {1}{x}=0[/tex].


Συνεχίζοντας, ως προς τον Αχιλλέα. Ας εξετάσουμε το θέμα Μαθηματικά, αφήνοντας δηλαδή εκτός τις θεωρίες μη δυνατότητας άπειρης διαίρεσης του χώρου και του χρόνου. Η λέξη κλειδί εδώ είναι η λέξη "σύγκλιση". Ας γίνω πιο σαφής. Ας ονομάσουμε [tex]t_1[/tex] τον χρόνο που χρειάζεται ο Αχιλλέας για να φτάσει στην αρχική θέση της χελώνας, [tex]t_2[/tex] τον χρόνο που χρειάζεται ο Αχιλλέας για να μεταβεί απο την αρχική θέση της χελώνας στη θέση στην οποία βρισκόταν η χελώνα όταν ο Αχιλλέας βρισκόταν στην αρχική θέση της χελώνας κοκ, δηλαδή ονομάζουμε [tex]t_n[/tex] τον χρόνο που χρειάζεται ο Αχιλλέας για να μεταβεί απο την [tex](n-1)[/tex]- οστή θέση της χελώνας στη θέση στην οποία βρισκόταν η χελώνα όταν ο Αχιλλέας βρισκόταν στην [tex](n-1)[/tex]- οστή θέση της χελώνας (για [tex]n>1[/tex], ενω για [tex]n=1[/tex] ο [tex]t_n[/tex] έχει περιγραφεί). Δεν πειριγράφω την αρίθμηση των θέσεων, ελπίζω όμως ότι είναι κατανοητή. Ο χρόνος που χρειάζεται για να φτάσει ο Αχιλλέας τη χελώνα, αν ποτέ τη φτάσει είναι ο [tex]t_1+t_2+t_3+...+t_n+...[/tex], ή, συμβολικά: [tex]\sum_{k=1}^{\infty} t_k[/tex] (στην πραγματικότητα ίσως υπάρχει μία διαφοροποίηση, το πνεύμα όμως είναι το ίδιο). Το λάθος εδώ είναι η θεώρηση του ότι (χοντρικά μιλώντας, χωρίς αναφορά σε όρια) το άθροισμα αυτό δεν μπορεί να είναι πεπερασμένο. Όμως εδώ αυτό ακριβώς συμβαίνει. Δεν παίζει ρόλο ο άπειρος αριθμός των προσθετεών, το άθροισμα είναι πεπερασμένο ή, με μαθηματική διατύπωση, η σειρά [tex]\sum_{k=1}^{\infty} t_k[/tex] συγκλινεί.

Η προηγούμενη διαδικασία είναι καλά ορισμένη. Ο συλλογισμός όμως που καταλήγει στο συμπέρασμα "ο Αχιλλέας δεν θα φτάσει ποτέ τη χελώνα" είναι εσφαλμένος. Πράγματι, στα πλαίσια της διαδικασίας ο Αχιλλέας δεν θα φτάσει την Χελώνα. Όμως η διαδικασία έιναι, κατα κάποιο τρόπο, "άπειρη χωρίς αιτία" ή, καλύτερα, "άπειρως περιγράψιμη, αλλά πεπερασμένως προσπελάσιμη". Η πραγματικότητα επεκτείνεται πέρα της διαδικασίας αυτής, αφού ο Αχιλλέας κάποτε θα φτάσει την χελώνα! Ας δώσω ένα παραπλήσιο παράδειγμα.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα τμήμα μήκους 1. Θα ξεκινήσουμε απο το αριστερό του άκρο και θα φτάσουμε στο δεξιό. Στην πορεία θα περάσουμε από τα σημεία [tex]\frac {1}{2}, \frac {3}{4},\frac {7}{8},\frac {15}{16}[/tex], και γενικά οποιοδήποτε σημείο της μορφής [tex]\frac {2^n-1}{2^n}[/tex]. Όμως, η διαδικασία μετάβασης είναι πεπερασμένη. Ας πούμε τώρα σε κάποιον να κάνει το εξής: να πάει από το 0 στο 1 περνώντας από όλα τα σημεία της μορφής [tex]\frac {2^n-1}{2^n}[/tex]. Ας δούμε τι έχει να πάθει! Για να μεταβεί από το [tex]\frac {2^n-1}{2^n}[/tex] στο [tex]\frac {2^{n+1}-1}{2^{n+1}}[/tex], δηλαδή από ένα σημείο αυτής της μορφής στο επόμενό του, θα χρειαστεί χρόνο [tex]s_n[/tex]. Εδώ μπορούμε να πούμε "Αχ τον καημένο, δεν θα φτάσει ποτέ στο 1!". Δεν συμβαίνει όμως αυτό. Ο άνθρωπος αυτός μπορεί να κάνει ότι του είπαμε κάνοντας ακριβώς ότι κάναμε και εμείς πριν, δηλαδη απλά πηγαίνοντας από το 0 στο 1!. Ας δούμε όμως ποιά είναι η τιμή του [tex]s_n[/tex]. Αν ο άνθρωπος κινείται με ταχύτητα 1, τότε μπορούμε να δείξουμε ότι [tex]s_n=\frac {1}{2^{n+1}}[/tex]. Ουσιαστικά έχουμε δείξει (ψιλομπακάλικα) ότι το άπειρο άθροισμα [tex]\frac {1}{2}+ \frac {3}{4}+\frac {7}{8}+\frac {15}{16}+...+\frac {1}{2^{n+1}}+...=\sum_{k=1}^{\infty}\frac {1}{2^k} [/tex] είναι όντως πεπερασμένο! Νομίζω πως αν κάποιος πιστέψει ότι υπάρχουν συγκλίνουσες σειρές, τότε μπορεί να ξεπεράσει το παράδοξο του Ζήνωνα.

Ας πάμε τώρα και στο ερώτημα για την δυνατότητα προσπέλασης απείρων βημάτων. Ουσιαστικά, δεν μας ενδιαφέρει κάτι τέτοιο. Δεν θέλουμε να προσπελάσουμε όλα τα άπειρα βήματα (κάτι που δεν γίνεται, εκτός εάν η υπο εξέταση κατάσταση από κάποιο σημείο και πέρα σταθεροποιοείται), αλλά να δείξουμε ότι κάτι συγκεκριμένο γίνεται (έστω q) αν πάμε πολύ μακρια στην διαδικασία. Πως θα γίνει αυτό; Θα δείξουμε ότι μπορούμε να πάμε απείρως κοντά στο q. Και πως γίνεται αυτό; Θα ζητήσουμε μία οποιαδήποτε "μικρή" απόσταση απο το q και θα δείξουμε ότι τα βήματα μας κάποτε θα "πλησιάσουν" το q πιο κοντά από αυτή την απόσταση. Όσο για τον Αχιλλέα η απάντηση διαφοροποιείται λίγο. Στα πλαίσια της διαδικασίας, δηλαδή σε οποιοδήποτε βήμα της διαδικασίας, ο Αχιλλέας δεν θα ξεπεράσει τη χελώνα. Όμως, η διαδικασία συνολικά λαμβάνει χώρα σε πεπερασμένο χρόνο, έστω [tex]t[/tex]. Στον χρόνο αυτό (στο περίπου μιλώντας, με το ίδιο όμως πνεύμα) ο Αχιλλέας θα φτάσει τη χελώνα και μετά την ξεπερνα.

Συνοψίζοντας: δεν ασχολούμαστε με καθαυτές τις άπειρες διαδικασίες, άρα το ερώτημα που τίθεται είναι περισσότερο φιλοσοφικό. Η συμπεριφορά μας ως προς τις άπειρες διαδικασίες είναι η προαναφερθείσα, του "όσο κοντά θέλω" και δεν μελετούμε όλα τα βήματα μίας άπειρης διαδικασίας, κάτι το οποίο είναι αδύνατον χρονικά: σε αντίθεση με την σειρά των χρόνων προσπέλασης των βημάτων στην πραγματικότητα, η σειρά των χρόνων επεξεργασίας του κάθε βήματος ξεχωριστά από εμάς είναι αποκλίνουσα!

_________________
\emptyset\not=\{\emptyset\}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 09 Μάιος 2008, 14:24 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 16 Φεβ 2007, 23:07
Δημοσ.: 537
Τοποθεσια: Κυψελη
stelvit έγραψε:
Η παραδοχή σου έχει κάποια μαθηματικά κενά. Ας πούμε πως ορίζεται η έννοια "ειμαστε σε θεση" με ένα σαφή (μαθηματικό) ορισμό ή ακόμα χειρότερα πως ορίζεται η "διαδικασία" με ένα σαφή (μαθηματικό) ορισμό.

Θα έλεγα επομένως ότι αν δεχτούμε διαισθητικά τις παραπάνω έννοιες αυτό δε θα ήταν ούτε θεώρημα ούτε αξίωμα. Πιο πολύ ως ορισμό μου κάνει.

Το "ειμαστε σε θεση"

Παράθεση:
ειμαστε σε θεση να παρακολουθησουμε ολοκληρη την επαναλαμβανομενη διαδικασια με τα απειρα βηματα της


εχει το νοημα οτι μπορουμε να παρακολουθησουμε την επαναληψη της διαδικασιας, οσο κι αν διαρκεσει, μεχρι να φτασουμε στο τελος της.

Αυτο σημαινει οτι μπορουμε να εφαρμοσουμε διεξοδικα και χωρις παραλειψεις τον τυπο π.χ. της ακολουθιας, αν μιλαμε για ακολουθια, για καθε φυσικο αριθμο ν.

Σημαινει οτι μπορουμε να εχουμε μπροστα μας ολους τους ορους της ακολουθιας και να ειμαστε βεβαιοι οτι δεν υπαρχουν αλλοι οροι.

Αρα μαθηματικα, το "ειμαστε σε θεση" εχει την εννοια της αναγραφης ολων των στοιχειων του συνολου των ορων ( Αν ) της ακολουθιας : { Α1, Α2, Α3, ..., Ατελευταιος }


Με τον ορο "διαδικασια", οσον αφορα και παλι σε μια ακολουθια με γνωστο τυπο, εννοω την εφαρμογη του τυπου της ακολουθιας αυτης για δεδομενο ν, πραγμα που σημαινει την αντικατασταση της τιμης του ν στον τυπο και την εκτελεση των σημειωμενων πραξεων.

Ειναι δε φανερο οτι αυτη η "διαδικασια" : επιλογη της τιμης του ν - αντικατασταση του στον τυπο της ακολουθιας - εκτελεση ολων των σημειωμενων πραξεων, ειναι και συγκεκριμενη και πεπερασμενη και επαναλαμβανομενη.

Οπως βλεπεις λοιπον εδω δεν εχει θεση η διαισθηση, αφου και οι δυο εννοιες που σε προβληματισαν οριζονται σαφως.

Το ερωτημα λοιπον, αναπροσαρμοσμενο μετα τις διευκρινησεις, παραμενει :

Η προταση, ολα τα στοιχεια του συνολου των απειρων ορων μιας ακολουθιας ειναι παντοτε αναγραψιμα, ειναι Θεωρημα ή Αξιωμα ;

_________________
Τα Μαθηματικα Ειναι ""Ασχετα"" Με Την Πραγματικοτητα


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 09 Μάιος 2008, 14:52 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 16 Φεβ 2007, 23:07
Δημοσ.: 537
Τοποθεσια: Κυψελη
zozef έγραψε:
Το αμα στο απειρο οι οροι ειναι "παρομοιοι" δεν ειναι κατι που πρεπει να σας ανησυχει, ολοι οι οροι ειναι απολυτως καθορισμενοι απο τον τροπο που ορισαμε την εκαστωτε ακολουθια

Το να μην ανησυχω για τους "ορους" της ακολουθιας εκει "κοντα" στο απειρο, σημαινει να δειξω πιστη οτι αυτοι εξακολουθουν να ειναι οπως τους καθορισα οριζοντας αρχικα τον τυπο της ακολουθιας ;

Αρα αποδεχομαι αξιωματικα οτι ολου οι οροι της ακολουθιας διατηρουν σταθεση τη δομη τους ( μετα την αντικατασταση του ν με συγκεκριμενη τιμη και φυσικα πριν την εκτελεση των πραξεων ).

Αυτο δεν λες ;


Και αυτο κατ΄αναγκη σημαινει οτι, καθε φυσικος αριθμος αναγραφεται παντοτε με τον ιδιο τροπο, ωστε με την αντικατασταση του μεσα στον τυπο της ακολουθιας να ειναι εκτελεσιμες οι σημειωμενες πραξεις.

Με ποιο τροπο αναγραφονται οι πολυ μεγαλοι αριθμοι ωστε να ειναι εκτελεσιμες οι πραξεις στις οποιες μετεχουν μεσα στον τυπο της ακολουθιας ;

Και φυσικα αυτο ειναι ενα αλλο ερωτημα, διαφορετικο απο απο αυτο που εθεσα στην αρχη !

Διοτι αν σε ενα ορο της ακολουθιας οι πραξεις δεν ειναι εκτελεσιμες, τοτε ο ορος δεν ειναι προσπελασιμος.

Και αρα υπαρχει αδυναμια αναγραφης των στοιχειων του συνολου των ορων της ακολουθιας.

_________________
Τα Μαθηματικα Ειναι ""Ασχετα"" Με Την Πραγματικοτητα


Τελευταία επεξεργασία απο skapaneas την 09 Μάιος 2008, 16:35, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 09 Μάιος 2008, 16:05 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 16 Φεβ 2007, 23:07
Δημοσ.: 537
Τοποθεσια: Κυψελη
detnvvp έγραψε:
Όπως είπε και πριν ο stelvit, η διαδικασία είναι η εξής: "Δωσε μου έναν αριθμο, μία απόσταση απο το 0 και εγώ θα σου δείξω ότι η [tex]\frac {1}{x}[/tex] κάποτε θα 'πέσει' κάτω από αυτή". Η διαδικασία δεν επαναλαμβάνεται μέχρι τέλους, άλλωστε δεν υπάρχει τέλος. Αφού όμως μπορούμε να πάμε "όσο κοντά θέλουμε" στο 0, τότε λέμε ότι οριακά, στο άπειρο, [tex]\lim_{x\to \infty}\frac {1}{x}=0[/tex].

Εδω λοιπον υποκρυπτεται μια αξιωματικη παραδοχη !

Οτι δηλαδη οταν εχουμε πετυχει τη μεγιστη κοντινη αποσταση στον μηδεν, η οποια προφανως ειναι η μηδενικη, τοτε ο [tex]x[/tex] εχει απειριστει.

Αρα ο [tex]x[/tex] δυναται να λαβει την τιμη [tex]\infty[/tex].

Εχει αρα αριθμητικη υποσταση το [tex]\infty[/tex] ;

Πως οριζεται το [tex]\infty[/tex] στα μαθηματικα ;

Και αν δεν εχει αριθμητικη υποσταση ( το [tex]\infty[/tex] ) πως ειναι δυνατον η αριθμητικη ματαβλητη [tex]x\to \infty[/tex] ;



Παράθεση:
Η προηγούμενη διαδικασία είναι καλά ορισμένη. Ο συλλογισμός όμως που καταλήγει στο συμπέρασμα "ο Αχιλλέας δεν θα φτάσει ποτέ τη χελώνα" είναι εσφαλμένος. Πράγματι, στα πλαίσια της διαδικασίας ο Αχιλλέας δεν θα φτάσει την Χελώνα. Όμως η διαδικασία έιναι, κατα κάποιο τρόπο, "άπειρη χωρίς αιτία" ή, καλύτερα, "άπειρως περιγράψιμη, αλλά πεπερασμένως προσπελάσιμη". Η πραγματικότητα επεκτείνεται πέρα της διαδικασίας αυτής, αφού ο Αχιλλέας κάποτε θα φτάσει την χελώνα! Ας δώσω ένα παραπλήσιο παράδειγμα.

Εδω διακρινω πραγματι ενα παραδοξο φαινομενο :

Ο Αχιλλεας διαδικαστικα, που σημαινει χωρικα δεν θα φτασει ποτε τη χελωνα...

Ενω χρονικα αυτο το γεγονος ειναι πεπερασμενο, μια και η σειρα συγκλινει και αρα ο Αχιλλεας θα φτασει τη χελωνα.

Ακολουθωντας δηλαδη δυο διαφορετικες μεθοδους αντιμετωπισης του προβληματος ( χωρικη, χρονικη ) καταληγουμε σε αντιθετα αποτεέσματα.

Οοιο απο τα δυο ειναι το σωστο ;

Και ειναι δυνατον ενα προβλημα να εχει δυο διαφορετικες απαντησεις και μαλιστα αντιθετες ;

Το "λαθος" κατα τη γνωμη μου βρισκεται στο οτι στη δευτερη περιπτωση ( χρονικη αντιπμετωπιση ) θεωρεις τον Αχιλλεα, ως αντικειμενο με διαστασεις και οχι ως σημειο.

Πραγμα που σημαινει οτι τον θεωρεις να βρισκεται ταυτοχρονα σε περισσοτερες απο μια θεσεις, μια και τα πελματα του Αχιλλεα εκτεινονται επι απειρων σημειων.

Δηλαδη τροποποιεις τα δεδομενα του προβληματος και γι΄αυτο καταληγεις σε διαφορετικα ( αντιθετα ) αποτελεσματα : δεν θα φτασει ο Αχιλλεας τη χελωνα, θα φτασει ο Αχιλλεας τη χελωνα.


Αν αντιμετωπισεις με τον ιδιο τροπο ( επι ενος και μονο σημειου ) τον Αχιλλεα και στη χρονικη προσεγγιση, τοτε θα καταληξεις και παλι στον πεπερασμενο χρονο ;

Δηλαδη θα υπαρχει και παλι συγκλινουσα σειρα χρονικων διαστηματων ;


Στη βαση της αυτη η νεα ( χρονικη ) αντιμετωπιση του προβληματος που σου προτεινω, προϋποθετει την παραδοχη οτι η κινηση του Αχιλλεα ( αλλά και της χελωνας ) επι οποιουδηποτε διαστηματος ( απειρων σημειων ) και απο το ενα ακρο του στο αλλο ( του διαστηματος ) γινεται σε πεπερασμενο χρονο.

Δηλαδη οτι ο Αχιλλεας μπορει να περναει απο ολα τα ενδιαμεσα ( απειρα ) σημεια σε πεπερασμενο χρονο.

Αλλα το οτι μπορει να γινεται αυτο, ειναι φυσικα μια παραδοχη.

Δηλαδη ενα αξιωμα.

Αρα η χρονικη λυση την οποια προτεινεις βασιζεται σε μια αξιωση, η οποια δεν συμπεριλαμβανεται στα δεδομενα του προβληματος.

Γι΄αυτο και η χρονικη λυση ερχεται σε αντιθεση με την χωρικη λυση, την οποια και εκφραζεις χαρακτηριστικα και επιτυχημενα λεγοντας οτι : στα πλαίσια της διαδικασίας ο Αχιλλέας δεν θα φτάσει την Χελώνα.

_________________
Τα Μαθηματικα Ειναι ""Ασχετα"" Με Την Πραγματικοτητα


Τελευταία επεξεργασία απο skapaneas την 11 Μάιος 2008, 11:34, επεξεργάστηκε 3 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 10 Μάιος 2008, 02:30 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 05 Φεβ 2008, 03:03
Δημοσ.: 424
Παράθεση:
Ας εξετάσουμε το θέμα Μαθηματικά, αφήνοντας δηλαδή εκτός τις θεωρίες μη δυνατότητας άπειρης διαίρεσης του χώρου και του χρόνου.


Λαμβάνω το απόσπασμα απο την προηγούμενη απάντησή μου. Αν θεωρήσουμε οτι ο χώρος δεν είναι απείρως διαιρετός, θα έχουμε το αποτέλεσμα: η ελάχιστη απόσταση που θα μπορεί να συναντηθεί στη φύση θα είναι διανύσιμη, άρα θα μπορούμε να μετακινηθούμε, φανταζόμενοι ότι θα μπορούμε να "γλιστρήσουμε" από μία θέση σε μία άλλη.

Για να γίνω πιο σαφής: η "διαδικασία" στην οποία αναφέρομαι εκτείνεται από τη στιγμή που ο Αχιλλέας και η χελώνα ξεκινάνε έως ότου ο Αχιλλέας φτάσει την χελώνα, αν ποτέ γίνει αυτό. Δείξαμε όμως ότι η διαδικασία λαμβάνει χώρα σε πεπερασμένο χρόνο.
Παράθεση:
Ο Αχιλλεας διαδικαστικα, που σημαινει χωρικα δεν θα φτασει ποτε τη χελωνα...

Δεν αντιλαμβάνομαι γιατί μπορεί να ισχύει αυτό. Εξάλλου: αν θεωρήσουμε μία απεικόνιση η οποία μας δίνει την απόσταση μεταξύ του (σημειακού) Αχιλλέα και της (σημειακής) χελώνας σε σχέση με το χρόνο, τότε ακριβώς στο [tex]t[/tex] στο οποίο λαμβάνει χώρα ολόκληρη η διαδικασία, η απόσταση αυτή μηδενίζεται και μετά από αυτή ο Αχιλλέας ξεπερνά την χελώνα. Η διαδικασία είναι πεπερασμένη και χρειάζεται χρόνο [tex]t[/tex] για την ολοκλήρωση της, στο [tex]t[/tex] ο Αχιλλέας φτάνει την χελώνα. Έτσι, στα πλαίσια της διαδικασίας, δηλαδή πριν το [tex]t[/tex], ο Αχιλλέας όντως δεν θα έχει φτάσει την χελώνα.
Όσο για τη χρονική λύση: είναι κατά τη γνώμη μου απαραίτητη η προσέγγιση του προβλήματος με αυτόν τον τρόπο, αφού μας ενδιαφέρει το αν και πότε ο Αχιλλέας θα φτάσει την χελώνα. Όσο για την ερώτηση περί του αξιώματος: στο πρόβλημα αυτό δεν μπορούμε να κάνουμε αλλιώς. Το πρόβλημα είναι πρόβλημα, εν προκειμένω, Φυσικής, και χρησιμοποιούμε φυσικές παραδοχές που δεν σχετίζονται με τα Μαθηματικά. Το ότι ο Αχιλλέας μπορεί να διανύσει άπειρα σημεία σε πεπερασμένο χρόνο όντως ισχύει, αφού κινείται!

Όσο για το άλλο θέμα. Το όριο είναι ένα εργαλείο, ένα κατασκεύασμα ή, καλύτερα, ένας ορισμός, μία καθιέρωση ενός τρόπου συνενόησης. Αν ορίσω το εξής "αν είμαι κάτω από 18 θα λέγομαι παιδί, διαφορετικά θα λέγομαι ενήλικας" τότε έχω συμφωνήσει με τους άλλους να χρησιμοποιούμε μία γλώσσα η οποία συντομεύει την επικοινωνία.

Ο x δεν μπορεί να επιτύχει μέγιστη κοντινή απόσταση στο 0 (αν και νομίζω ότι εννοείτε την ελάχιστη κοντινή απόσταση). Το ερώτημα είναι σαν το εξής: Βρείτε τον ελάχιστο θετικό αριθμό. Τέτοιος αριθμός δεν υπάρχει γιατί, αν υπήρχε, έστω ο [tex]\epsilon[/tex], τότε [tex]\frac {\epsilon} {2}>0[/tex] και [tex]\frac {\epsilon} {2}<\epsilon[/tex], άτοπο. Το γεγονός ότι ο x δεν μπορεί να επιτύχει την ελάχιστη κοντινή απόσταση στο 0 δεν παρουσιάζει κάποιο πρόβλημα στην απόδειξη του ότι [tex]\lim_{x\to \infty}\frac {1}{x}=0[/tex]. Ο ορισμός ικανοποιείται, δεν καταπιανομαστε με το άπειρο καθαυτό (δυνητικός τρόπος αντιμετώπισης) και τελικά το [tex]\lim_{x\to \infty}\frac {1}{x}[/tex] είναι όντως 0.

Ο x δεν μπορεί να απειριστεί με την έννοια του να γίνει ίσος με το άπειρο. Με το άπειρο, όπως έγραψα προηγουμένως, ασχολούμαστε δυνητικά. Ως παράδειγμα: ο [tex]x_n[/tex] κινείται, μπορούμε να βρούμε [tex]n[/tex] τέτοιο ώστε από τον [tex]n[/tex] και πάνω ο [tex]x_n[/tex] να γίνεται όσο μεγάλος θέλουμε, άρα λέμε ότι ο [tex]x_n[/tex] τείνει στο άπειρο. Δεν ασχολούμαστε με το αν ο x είναι όντως ίσος με το άπειρο, αφού κάτι τέτοιο δεν έχει νόημα. Προσπαθούμε να εντάξουμε την έννοια του απείρου στα Μαθηματικά με έναν ασφαλή τρόπο.

Εξαλουθώ να πιστεύω ότι το ερώτημα είναι περισσότερο φιλοσοφικό. Τα Μαθηματικά δεν ασχολούνται με αυτό γιατί δεν τα ενδιαφέρει καθαυτό το ερώτημα. Τα όρια κτλ αναφέρονται σε καλά ορισμένες διαδικασίες και, το βασικότερο, μπορούμε να δείξουμε κάτι για ένα όριο στο άπειρο μέσα από πεπερασμένα βήματα. Κλείνοντας, το αν το τελευταίο όντως δύναται να ισχύει είναι καθαρά φιλοσοφικό ερώτημα.

_________________
\emptyset\not=\{\emptyset\}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Μάιος 2008, 11:52 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 16 Φεβ 2007, 23:07
Δημοσ.: 537
Τοποθεσια: Κυψελη
Θεωρω προτιμοτερο σε αυτη τη φαση της συζητησης, να διευκρινησουμε τη φυση του απειρου, για να ξερουμε για τι πραγμα μιλαμε.

Επαναλαμβανω λοιπον τα ερωτηματα που εθεσα και πιο πανω :

1. Πως οριζεται το [tex]\infty[/tex] στα μαθηματικα ;

2. Το [tex]\infty[/tex] εχει αριθμητικη υποσταση ;

3. Αν δεν ειναι αριθμος, πως ειναι δυνατον για μια αριθμητικη μεταβλητη [tex]x [/tex]να ισχυει [tex]x\to \infty[/tex] ;

_________________
Τα Μαθηματικα Ειναι ""Ασχετα"" Με Την Πραγματικοτητα


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 177 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα 1, 2, 3, 4, 5 ... 12  Επόμενο

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group