forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 18 Νοέμ 2017, 01:21

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 67 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2, 3, 4, 5  Επόμενο
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Tριχοτόμηση γωνίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Ιαν 2010, 14:41 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 630
Όχι...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Tριχοτόμηση γωνίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Ιαν 2010, 16:44 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 14 Νοέμ 2008, 13:03
Δημοσ.: 105
ilis έγραψε:
Για να έχουμε λοιπον όλες τις περιπτώσεις η διατύπωση του θεωρήματος μπορεί να είναι έτσι
<< Μια γωνία μπορεί να τριχοτομηθεί με χ.και δ.εάν και μόνο εάν το μέτρο της είναι 180κ/ν όπου κ, ν θετικοί ακέραιοι και ν μη διαιρετός δια 3 >> Σωστό?


Όχι.

Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να τριχοτομείται μια γωνία (κατασκευαζόμενη με κανόνα και διαβήτη), είναι το μέτρο της υπόψη γωνίας σε μοίρες να ισούται προς: \frac{9k}{2^{n-1}}, όπου k και n, θετικοί ακέραιοι.

Σημ.
Ως γνωστόν οι γωνίες που κατασκευάζονται με κανόνα και διαβήτη έχουν μέτρο σε μοίρες: \frac{360}{2^k.p_0.p_1.p_2...p_n}, όπου k φυσικός και p_0,p_1, p_2,...p_n διακεκριμένοι πρώτοι αριθμοί της μορφής : p_i=2^{2^t}+1, όπου t φυσικός.


Τελευταία επεξεργασία απο ypatia την 11 Ιαν 2010, 19:50, επεξεργάστηκε 5 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Tριχοτόμηση γωνίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Ιαν 2010, 19:37 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 27 Δεκ 2009, 16:33
Δημοσ.: 4
Παράθεση:
Περα απο 'πακτωσεις', 'ολισθησεις' και λοιπα...μηχανικα, στην ουσια η μεθοδος εισαγει ενα νεο αξιωμα στη γεωμετρια που λεει οτι (υπο καποιες προυποθεσεις), σε δυο τεμνομενες ευθειες και για σημειο , μπορουμε να κατασκευασουμε ευθ. τμημα δεδομενου μηκους του οποιου τα ακρα να βρισκονται στις ευθειες και το να βρισκεται επι της μεσοκαθετου του.

Με αυτο το αξιωμα, βεβαιως η (τυχαια) γωνια τριχοτομειται. Αλλα πλεον εχει ελαχιστο ενδιαφερον. Οπως ειπα, ηδη ο Αρχιμηδης ειχε καταφερει κατι παρομοιο.


Μπορώ να έχω παρακαλώ το αρχαίο κείμενο του Αρχιμήδη όπου παρουσιάζεται λύση της τριχοτόμισης με τη μέθοδο της νεύσεως;
Διότι αμφισβητώ ανοιχτά ότι υπάρχει τέτοια λύση και κείμενο.
Σας προκαλώ λοιπον να το παρουσιάσετε εάν ηφίστατε.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Tριχοτόμηση γωνίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Ιαν 2010, 21:11 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 23 Νοέμ 2006, 10:32
Δημοσ.: 1888
Αν ψάξεις στο google (Angle Trisection) θα βρεις αρκετές αποδείξεις. Τώρα για το το κείμενο του Αρχιμήδη δεν ξέρω. Σχετικά με τη λύση του πάντως βρήκα αυτό, αυτό και αυτό. Επίσης δες και εδώ.

_________________
"Πριν ξεκινήσουμε να συζητάμε, πρέπει πρώτα να ορίζουμε τις έννοιες για να μπορέσουμε να συνεννοηθούμε" - Σωκράτης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Tριχοτόμηση γωνίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Ιαν 2010, 21:55 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 17 Μαρ 2008, 20:55
Δημοσ.: 41
Λύση που βασίζεται στη μέθοδο της νεύσεως υπάρχει, αρχαίο κείμενο όμως δεν έχει βρεθεί, αποδίδεται η λύση στον Αρχιμήδη απο τους Αραβες και δημοσιεύτηκε το 1659. Είναι η πιο απλή λύση απ' όλες. Βλ. Μ. Μπρίκα << Τά περίφημα άλυτα προβλήματα της αρχαιότητος>> σελ. 109-110 .


Τελευταία επεξεργασία απο ilis την 12 Ιαν 2010, 11:23, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Tριχοτόμηση γωνίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Ιαν 2010, 23:02 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 17 Μαρ 2008, 20:55
Δημοσ.: 41
ypatia έγραψε:
ilis έγραψε:
Για να έχουμε λοιπον όλες τις περιπτώσεις η διατύπωση του θεωρήματος μπορεί να είναι έτσι
<< Μια γωνία μπορεί να τριχοτομηθεί με χ.και δ.εάν και μόνο εάν το μέτρο της είναι 180κ/ν όπου κ, ν θετικοί ακέραιοι και ν μη διαιρετός δια 3 >> Σωστό?


Όχι.
Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να τριχοτομείται μια γωνία (κατασκευαζόμενη με κανόνα
και διαβήτη), είναι το μέτρο της υπόψη γωνίας σε μοίρες να ισούται προς: \frac{9k}{2^{n-1}}, όπου
k και n, θετικοί ακέραιοι.




...και η γωνία 1080/17 μοίρες που τριχοτομείται με κ.και δ. τι σχέση έχει μ' αυτό τον τύπο?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Tριχοτόμηση γωνίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Ιαν 2010, 08:53 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 14 Νοέμ 2008, 13:03
Δημοσ.: 105
ypatia έγραψε:
Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να τριχοτομείται μια γωνία (κατασκευαζόμενη με κανόνα και διαβήτη), είναι το μέτρο της υπόψη γωνίας σε μοίρες να ισούται προς: \frac{9k}{2^{n-1}}, όπου k και n, θετικοί ακέραιοι.

Σημ.
Ως γνωστόν οι γωνίες που κατασκευάζονται με κανόνα και διαβήτη έχουν μέτρο σε μοίρες: \frac{360}{2^k.p_0.p_1.p_2...p_n}, όπου k φυσικός και p_0,p_1, p_2,...p_n διακεκριμένοι πρώτοι αριθμοί της μορφής : p_i=2^{2^t}+1, όπου t φυσικός.


Έχεις δίκιο.

Η διατύπωση πρέπει να περιλαμβάνει και τις τριπλάσιες γωνίες των κατασκευαζόμενων σύμφωνα με την παραπάνω σημείωση, δηλ. τις έχουσες μέτρο σε μοίρες: \frac{360.3j}{2^k.p_0.p_1.p_2...p_n}, με k>=0, j>0 φυσικούς και p_0,p_1, p_2,...p_n διακεκριμένοι πρώτοι αριθμοί της μορφής : p_i=2^{2^t}+1, όπου t>1 φυσικός.

Οπότε έχουμε πως:

Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να τριχοτομείται μια γωνία (κατασκευαζόμενη με κανόνα και διαβήτη), είναι το μέτρο της υπόψη γωνίας σε μοίρες να ισούται προς: \frac{9k}{2^{n-1}}, όπου k και n, θετικοί ακέραιοι ή προς: \frac{360.3j}{2^k.p_0.p_1.p_2...p_n}, με k>=0, j>0 φυσικούς και p_0,p_1, p_2,...p_n διακεκριμένοι πρώτοι αριθμοί της μορφής : p_i=2^{2^t}+1, όπου t>1 φυσικός.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Tριχοτόμηση γωνίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Ιαν 2010, 12:13 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 630
Όποιος ασχολείται με τό θέμα καλό είναι να διαβάσει τά papers τού Richard L. Francis με τίτλους :

-A Note on Angle Construction

και

-Modern Mathematical Milestones:
Morley´s Mystery


(Υπάρχουν και τα 2 στο διαδίκτυο ως pdf αρχεία)

Ως πρός την εικασία τού Ilis τώρα...με το 9...Είναι σωστή...Αποτελεί παρατήρηση που όμως είναι γνωστή...με την έννοια ότι εξηγείται..
Γιά μέτρο γωνίας φυσικό αριθμό υπάρχει, όπως είπαμε, και κάτι πιό ισχυρό....τό σχετικό θεώρημα:

Μιά κατασκεύασιμη γωνία με μέτρο φυσικό αριθμό τριχοτομείται άν και μόνο άν ο φυσικός αυτός αριθμός διαιρείται μέ τό 9

Γιά μέτρο δεκαδικό μή περιοδικό έχουμε την παρατήρηση :

Άν μιά γωνία με μέτρο δεκαδικό μη περιοδικό αριθμό τριχοτομείται, τότε το 9 διαιρεί τό μέτρο τής γωνίας

Απομένει η περίπτωση που η γωνία έχει μέτρο περιοδικό...Και εδώ ισχύει όμως αναγκαστικά κάτι ανάλογο..το 9 διαιρεί τήν περίοδο...διότι τα μέτρα αυτά συνδέονται με τούς πρώτους τού Fermat και γνωρίζουμε ότι ο 9 διαιρεί την περίοδο κάθε αντίστροφου πρώτου αριθμού ..
Και εδώ μπορούμε να πούμε:

Άν μιά γωνία με μέτρο δεκαδικό περιοδικό αριθμό τριχοτομείται, τότε το 9 διαιρεί τήν περίοδο

Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Tριχοτόμηση γωνίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Ιαν 2010, 14:06 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 17 Μαρ 2008, 20:55
Δημοσ.: 41
Apokalyptikos έγραψε:
Αν έχεις την καλωσύνη απάντησέ μου γιατι είμαι εκτός θέματος....

Αυτό που έγραψα είναι η βάση τής απόδειξης τού κάτωθι θεωρήματος για ακέραιες γωνίες πχ. :

Μιά κατασκεύασιμη γωνία τριχοτομείται εάν και μόνο εάν τό ακέραιο μέτρο της διαιρείται διά τού 9

Αποκαλυπτικός



...
επομένως εδώ το ... << εάν και μόνο εάν >> πρέπει να αντικατασταθεί από το << εάν>>. Αν βεβαίως μιλάμε για γωνίες με μέτρο ρητό μη περιοδικό αριθμό.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Tριχοτόμηση γωνίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 05 Δεκ 2010, 21:19 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 05 Δεκ 2010, 21:03
Δημοσ.: 2
καταρχάς να σας πω πως το πρόβλημα αυτό μου ήταν άγνωστο πριν λίγο καιρό,
αλλα ψάχτηκα πολύ το τελευταίο διάστημα γιατί υπήρχε λόγος

δεν θα μπω σε λεπτομέρειες αλλα συγγενικό μου πρόσωπο κατάφερε να το λύση.
ξέρω ακούγεται τρελό, υπεροπτικό και αλαζονικό αλλα γνωρίζω πολύ καλά τι λέω

κατάφερε να το λύσει με ΚΑΝOΝΑ και ΔΙΑΒHΤΗ


η λύση αυτή ισχύει για ΌΛΟΥΣ τους αριθμούς,
ακόμα και για τους ασύμμετρους ακόμα και για τους φανταστικούς

τριχοτομεί μια τυχαία γωνια χωρίς να μετράει τίποτα, με απλά γεωμετρικά σχέδια
και οι γνώσεις που χρειάζεται για να το καταλάβεις είναι 1ης γυμνασίου.

το άτομο αυτό δεν έχει ιδέα από υπολογιστές και ανέλαβα να μεταφέρω
τον παλιό παραδοσιακό τρόπο του γραπτού λόγου με μολύβι και χαρτί
σε έγγραφο κειμένου ηλεκτρονικής μορφής.


κατεβάστε το βιβλίο με την λύση εδώ (http://rapidshare.com/files/436446285/trixotomisi.doc) (NEO link - το παλιο ειχε προβλημα)
πληροφορίες εδώ ( http://www.biblionet.gr/main.asp?page=s ... kid=159200 )


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Tριχοτόμηση γωνίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Δεκ 2010, 22:50 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 630
Καλά είναι όλα αυτά...αλλά πώς τελικά τριχοτομεί τήν δοθείσα (τυχαία) ΑΚΒ δεν μάς το λέει...

Η εργασία αυτή ξεκινά απο δοσμένο ισοσκελές τρίγωνο ΑΖΒ με ΑΖ=ΖΒ... καταλήγει στο ισοσκελές τραπέζιο ΑΓΔΒ (διχοτόμηση τών γωνιών Α και Β).... φέρει απο τις κορυφές Γ και Δ τις κάθετες στις διαγώνιες ΑΔ και ΓΒ....που τέμνονται στο Κ.... και διαπιστώνει ότι οι 3 γωνίες ΑΚΓ, ΓΚΔ και ΔΚΒ είναι το ένα τρίτο τής ΑΚΒ...κάτι που βέβαια ισχύει..αλλα είναι και τετριμμένο..

Άν εξαιρέσουμε ορισμένα λαθάκια (Σελίδα 34: Χορδές ΑΔ=2ΓΔ=ΓΒ, όπου η μεσαία ισότητα δεν ισχύει) είναι ορθά αυτά που γράφει, αλλά δεν επιλύει το πρόβλημα που ισχυρίζεται ότι επιλύει....ΔΙΟΤΙ με δοσμένη την γωνία ΑΚΒ αδυνατεί να κατασκευάσει το ισοσκελές τραπέζιο, χωρίς να τριχοτομήσει πρώτα τήν γωνία!

Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Tριχοτόμηση γωνίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Δεκ 2010, 01:11 
Χωρίς σύνδεση
Banned

Εγγραφη: 20 Απρ 2010, 12:39
Δημοσ.: 278
Απόδειξη τριχοτόμησης της όποιας γωνίας.
Αφιερωμένη εκ μέρους μου, στον εξαιρετικό μαθηματικό κύριο Αποκαλυπτικό που με εντυπωσιάζει και δημοσιευμένη (όπως την βρήκα) από κάποιον Λάμπρο Μαγκλάρα. Δεν γνωρίζω αν είναι σωστή.
Η απόδειξη στο πλαίσιο της ευκλείδειας γεωμετρίας.
Δεδομένα:
Αξίωμα του Ευκλείδη: Και όσα εφαρμόζουν το ένα επάνω στο άλλο, είναι ίσα.
Ισότητες γωνιών:
Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία, τότε έχουν και τις τρίτες γωνίες τους ίσες.

Η απόδειξη:
1. Επί ευθείας ε, ορίζουμε με τον διαβήτη τρία διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ=ΒΓ=ΓΔ.
2. Κάθε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ έχει ένα μόνο μέσο Μ, προς το οποίο τα Α και Β είναι συμμετρικά. Φέρουμε κάθετο κ στο Μ.
3. Από κάθε σημείο Σ της καθέτου κ, μπορούμε να φέρουμε ευθείες προς τα Α, Β, Γ και Δ. Τις φέρουμε.
4. Σχηματίζονται τα δύο ισοσκελή τρίγωνα ΣΑΔ και ΣΒΓ αποδεικνυόμενα σαν ισοσκελή, εκ της συμμετρίας προς το Μ. Συγχρόνως στο όλο σχήμα, διαπιστώνουμε την ύπαρξη τριών τριγώνων ήτοι:
ΣΑΒ, ΣΒΓ, ΣΓΔ.
5. Εκ της συμμετρίας, ισχύει ισότητα των δύο τριγώνων: ΣΑΒ=ΣΔΓ.
6. Με τον διαβήτη και με «άνοιγμα» ΣΒ=ΣΓ, ορίζουμε επί των πλευρών ΣΑ και ΣΔ αντίστοιχα, τμήματα ΣΛ και ΣΝ όπου ισχύει επομένως: ΣΛ=ΣΒ=ΣΓ=ΣΝ
Συνεπάγεται πως έχουμε πλέον τρία ισοσκελή και ίσα τρίγωνα δηλαδή τα:
ΣΛΒ=ΣΒΓ=ΣΓΝ τα οποία έχουν επομένως και τις τρεις γωνίες τους ίσες και όχι μόνο δύο που θα αρκούσαν.
Επομένως η γωνία ΑΣΔ, που είναι τυχαία γωνία και εκφράζει επομένως την κάθε γωνία, είναι τριχοτομημένη σε ΑΣΒ=ΒΣΓ=ΓΣΔ.
Έτσι κάθε τυχαία γωνία, τριχοτομείται με το αξίωμα του Ευκλείδη «και όσα εφαρμόζουν το ένα επάνω στο άλλο, είναι ίσα», αφού ευρίσκεται οπωσδήποτε όσο οξεία ή αμβλεία και να είναι, επί της αύξουσας και φθίνουσας – ως προς το οξύ ή αμβλύ - κλίμακας των σημείων της κ κάθετης στο Μ, που περιλαμβάνει όλες τις δυνατές γωνίες.
Τα διαδοχικά τμήματα ΑΒ=ΒΓ=ΓΔ, μπορούν να είναι όσο μεγάλα ή μικρά επιθυμούμε, ώστε να καλύπτουν κάθε απαίτηση του γεωμέτρη να εφαρμόσει την κάθε γωνία (αναλογίες Θαλή). Με αυτό τον τρόπο, που αποτελεί απλά, απλή μέθοδο, κάθε γωνία ΑΒΓ οσονδήποτε οξεία ή αμβλεία, αν εφαρμοστεί διχοτομημένη από τα σημεία της σταθερής κάθετης κ στο Μ, διαιρείται αυτόματα σε τρία ίσα μέρη ή τριχοτομείται.
Η διχοτόμηση της όποιας γωνίας, μπορεί εύκολα να επιτευχθεί, αν καταστήσουμε με τον κανόνα και τον διαβήτη, την όποια γωνία, ρόμβο ή τετράγωνο και η κ κάθετη επί το Μ, είναι διαγώνιός του.
Κάθε αίτημα για τριχοτόμηση της όποιας γωνίας ικανοποιείται.
Ελπίζω να μη κάνει λάθος ο Μαγκλάρας και επιτιμηθώ εγώ. Μόνο η απορία μου ανήκει και είναι έντονη.
Καλή χρονιά.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Tριχοτόμηση γωνίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 31 Δεκ 2010, 02:20 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 24 Σεπ 2006, 15:07
Δημοσ.: 1294
Τοποθεσια: Ελευσίνα
Λάμπρος? Is that you my child? Καλή χρονιά ρεεεεεεεε!!!! Καλά αυτός δεν είχε φάει μπαν?Ποιος τον αμόλυσε πάλι?

_________________
http://soundcloud.com/iliasvafeiadis/
God is absence. God is the solitude of man.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Tριχοτόμηση γωνίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 03 Ιαν 2011, 12:41 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 30 Ιαν 2007, 10:24
Δημοσ.: 232
aoristos έγραψε:
Συνεπάγεται πως έχουμε πλέον τρία ισοσκελή και ίσα τρίγωνα δηλαδή τα:
ΣΛΒ=ΣΒΓ=ΣΓΝ τα οποία έχουν επομένως και τις τρεις γωνίες τους ίσες και όχι μόνο δύο που θα αρκούσαν.


Συμφωνοι για το ισοσκελη αλλα δε βλεπω γιατι ειναι ισα. Απο τη συμμετρια ισχυει οτι ΣΛΒ = ΣΓΝ, αλλα αυτα τα δυο δεν ειναι ισα με το ΣΒΓ (δεν εχουν ιση την τριτη πλευρα τους).

Δημητρης

_________________
The Axiom of Choice is obviously true, the Wellordering Principle obviously false, and who can tell about Zorn's Lemma ?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Tριχοτόμηση γωνίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 06 Ιαν 2011, 07:58 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 17 Απρ 2008, 10:50
Δημοσ.: 84
heliasv έγραψε:
Ποιος τον αμόλυσε πάλι?


Είναι κομμάτι της θεραπευτικής αγωγής.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 67 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2, 3, 4, 5  Επόμενο

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group