forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 23 Σεπ 2017, 07:52

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 67 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2, 3, 4, 5  Επόμενο
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Tριχοτόμηση γωνίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Δεκ 2009, 12:21 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 30 Ιαν 2007, 10:24
Δημοσ.: 232
Πολυ πιθανον η κατασκευη να δουλευει - δεν τη διαβασα ολοκληρη.

Οπωσδηποτε ομως δεν αποτελει επιλυση του γνωστου παναρχαιου προβληματος, το οποιο εχει αποδειχθει αλυτο. Το προβλημα ασχολειται με την τριχοτομηση της γωνιας χρησιμοποιωντας μονο αβαθμολογητο κανονα και διαβητη. Δεν προβλεπεται ουτε 'πακτωση' ουτε 'ολισθηση'.

Αν ειναι να υπερβουμε τον κανονα και το διαβητη, ηδη ο Αρχιμηδης ειχε κατορθωσει να τριχοτομησει τυχαια γωνια με τη μεθοδο της 'νευσεως' - δεν υπαρχει κατι το πρωτοτυπο.

Τα σχολια των αυτοκλητων υπερασπιστων της επιστημονικης σοβαροτητας του forum τα αντιπαρερχομαι.

Δημητρης

_________________
The Axiom of Choice is obviously true, the Wellordering Principle obviously false, and who can tell about Zorn's Lemma ?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Tριχοτόμηση γωνίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Δεκ 2009, 13:43 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 12 Μαρ 2006, 22:43
Δημοσ.: 3624
Τοποθεσια: Αθήνα
Συνοπτικά η απόδειξη ότι η οποιαδήποτε γωνία δεν τριχοτομείται με κανόνα και διαβήτη έχει ως εξής:
Βήμα 1) Γίνεται μία τοποθέτηση του τι σημαίνει κατασκευή με κανόνα αδιαβάθμητο(δηλαδή δεν έχει cm κλπ , μόνο ευθείες μπορούμε να κατασκευάσουμε) και διαβήτη αδιαβάθμητο επίσης (δεν μπορούμε να ανοίγουμε τον διαβήτη σε όποια γωνία θέλουμε) Εδώ χρειάζεται μεγάλη επομένως συζήτηση ώστε το ερώτημα να τοποθετηθεί αυστηρά.
Βήμα 2) Μπορούμε να μεταφέρουμε το πρόβλημα στην ευθεία των πραγματικών αποδεικνύοντας ότι ένα σημείο στο επίπεδο είναι κατασκευάσιμο εάν και μόνο εάν οι συντεταγμένες του είναι κατασκευάσιμες.
Βήμα 3) Αποδεικνύουμε ότι το σύνολο Κ των κατασκευάσιμων σημείων του \mathbb{R} είναι ένα υπόσωμα αυτού
Βήμα 4) Αποδεικνύουμε ότι αν ένα σημείο της ευθείας είναι κατασκευάσιμο οι συντεταγμένες του θα βρίσκονται σε ένα σώμα Λ υπόσωμα του Κ
Βήμα 5) Παρατηρούμε ότι το Λ είναι διανυσματικός χώρος με συντελεστές ρητούς και μάλιστα η διάσταση dim_Q \Lambda είναι 2^n δηλαδή δύναμη του 2 (αυτό σχετίζεται με το γεγονός ότι με κύκλο φτιάχνουμε καμπύλες δευτέρου βαθμού)
Βήμα 6) Με το ανάπτυγμα του συν(3x) βρίσκουμε ότι το συν20^0 είναι ρίζα ενός τριτοβαθμίου πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές που επιλέον είναι ανάγωγο επί των ρητών. Αυτό μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι το συν20^0 βρίσκεται σε ένα υπόσωμα του Κ που δεν έχει διάσταση επί των ρητών δύναμη του 2
Βήμα7) Καταλήγουμε ότι η γωνία 60^0 εξήντα μοιρών είναι αδύνατο να τριχοτομηθεί με κανόνα και διαβήτη.
Μετά βρίσκουμε και άλλες γωνίες που δεν τριχοτομούνται
===========================================
Κάτι που αξίζει να θυμάται κανείς είναι ότι μία γωνία με ακέραιο αριθμό μοιρών θ, αν κατασκευάζεται(όχι τριχομοτομείται) τότε το 3 διαιρεί το θ και αντίστροφα .
Αυτό πάλι σε γενικές γραμμές αποδεικνύεται ως εξής: Γωνία 30 μοιρών και επομένως 15 μοιρών κατασκευάζεται. Επίσης με γνωστά θεωρήματα διχοτόμων κατασκευάζεται κανονικό 10-γωνο και άρα κατασκευάζεται γωνία 36 μοιρών άρα και 18 άρα και 9 μοιρών (μπορούμε πάντα να διχοτομούμε γωνίες με κανόνα και διαβήτη). Έχουμε λοιπόν γωνία 15 και 9 μοιρών κατασκευάζονται άρα κατασκευάζεται και γωνία 15-6=6 μοιρών άρα και γωνία 3 μοιρών. Αφού κατασκευάζουμε γωνία 3 μοιρών μπορούμε να κατασκευάσουμε κάθε ακέραιο πολλαπλάσιο των 3 μοιρών.
Αν υπήρχε γωνία θ με ακέραιοι αριθμό μοιρών και το 3 να μην διαιρεί το θ, τότε ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (3,θ) θα ήταν 1.
Από γνωστό θεώρημα της Βασικής άλγεβρας υπάρχουν ακέραιοι κ και λ με 3κ+θλ=1. Σκεφθείτε τώρα πως η αλγεβρική αυτή σχέση μετατρέπεται σε γεωμετρική και οδηγεί στην κατασκευή γωνίας 1 μοίρας, άτοπο διότι γνωρίζουμε ότι γωνία 20 μοιρών δεν κατασκευάζεται.

========================



Προφανώς τα παραπάνω δεν είναι μία αυστηρή απόδειξη αλλά υπόδειξη ενός δρόμου για την απόδειξη και την ανάπτυξη της θεωρίας. Θα μπορούσε κάποιος να τα αναπτύξει εδώ σε αυστηρή θεωρία, ώστε να πεισθούν όλοι.

Κάτι ακόμη σαν παρατήρηση: Ας υποθέσουμε ότι κάποιος άλλος βρίσκει μία άλλη απόδειξη, άγγνωστη ως τώρα ότι γωνία 20^0 είναι αδύνατο να κατασκευασθεί με την έννοια της κατασκευής όπως είπαμε παραπάνω, άρα γωνία 60^0 είναι αδύνατο να τριχοτομηθεί. Τότε η απόδειξη αυτή θα συμπεραίνει ότι το \sigma \upsilon \nu 20^0 είναι ρίζα πολυωνύμου αναγώγου τρίτου βαθμού με ρητούς συντελεστές. Θέλω να πω ότι οποιαδήποτε άλλη απόδειξη είναι περίπου το ίδιο "δύσκολη"

Αξίζει επίσης κανείς να διαβάσει και το άρθρο αυτό

Τώρα ως απάντηση σε μερικούς φίλους στο ΦΟΡΟΥΜ έχω να πω ότι το ΦΟΡΟΥΜ είναι ανεκτικό (αρκεί να τηρείται ο κανονισμός) και φιλόξενο. Τα μαθηματικά λάθη είναι αναμενόμενα

_________________
Ευάγγελος Ράπτης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Tριχοτόμηση γωνίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Δεκ 2009, 20:16 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 27 Δεκ 2009, 16:33
Δημοσ.: 4
Ευχαριστώ και τους 2 φίλους για τον κόπο τους να ασχοληθούν και να απαντήσουν.
Διαφωτιστικές οι απαντήσεις σας!
Απ'ότι καταλαβαίνω πρόκειται για ένα πολυσύνθετο και πολύπλοκο πρόβλημα που μπορεί ίσως να λύνεται ενίοτε όπως έλυσε ο Μ.Αλέξανδρος τον γόρδιο δεσμό!
Αντιλαμβάνομαι ότι μόνο με κανόνα και διαβήτη κάνεις δεν το κατάφερε (πχ για γωνία 60 μοιρών) και ότι εχουν βγει θεωρήματα που το αποκλείουν. Ως γεωμετρική κατασκευή όμως αυτή η μέθοδος που παρουσίασα με τα 3 εργαλεία μπορεί να θεωρηθεί ορθή και ικανή να τριχοτομήσει οποιαδήποτε γωνία;

Παραθέτω καθαρογραμμένη την λύση που βρίσκεται στο σκίτσο



Τριχοτομησιμη Γωνία ΒΑΓ.

Φέρουμε διχοτόμο ΑΔ.

Καθέτως επί της ΑΔ φέρομε ευθεία τυχαίου μήκους ΕΣ ώστε ΕΤ = ΤΣ.

Καθέτως επί της ΑΔ φερομε τις ΖΘ και ΗΙ ώστε ΖΘ = ΕΣ = ΗΙ.

Επί κανόνος «ΦΧΨΩ» οριζομεν τμήματα ΚΞ = ΞΛ = ΕΤ = ΤΣ και ΚΛ = ΕΣ.

Πακτώνουμε *-----* (βλ. σκίτσο) τον κανόνα «ΦΧΨΩ» με ορθογώνιο Γνώμονα «ΣFY» ή χρησιμοποιούμε αντ’ αυτών ένα Γεωμετρικό Ταυ «Φ – ΞΥ – Ω» , έτσι ώστε η κορυφή της ορθής Γωνίας F να ευρίσκεται επί της ευθείας FΞ κάθετου προς την ΦΩ.

Ολισθαίνουμε το Πακτωμένο σύστημα «ΦΧΨΩ + ΣFY» (ή το Ταυ «Φ – ΞΥ – Ω») προς την κορυφή Α της Γωνίας ΒΑΓ, έτσι ώστε το σημειον Κ να ευρίσκεται συνεχώς επί της ευθείας ΑΒ, και ώστε η ευθεία ΞΥ να διέρχεται συνεχώς από το σημειον Α ήτοι από την Κορυφή της Γωνίας ΒΑΓ.

Όταν το σημείο Λ ευρεθει επί της ευθείας ΗΖ, διακόπτουμε την Ολίσθηση και φέρουμε επί χάρτου την ευθεία ΑΛ = ΑΚ, ως πλευρές ισοσκελούς τριγώνου ΚΑΛ αποτελούμενου από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα ΚΞΑ και ΛΞΑ , έχοντα δυο πλευρές ισες ΚΞ και ΞΛ και μια πλευρά κοινή ΑΞ , άρα και τις υποτείνουσες ισες ΑΚ = ΑΛ.

Από το σημειον Λ φέρομε καθετο ΛΜ = ΚΛ = ΕΣ επι της ευθειας ΘΙ.

Μετα την ευρεση του σημειου Μ , φερομε την ευθεία ΑΜ.

Με τον διαβήτη οριζομε επί της ΑΓ , τμήμα ΑΝ = ΑΜ = ΑΛ = ΑΚ.

Φερομε την χορδή ΜΝ έτσι ώστε ΜΝ = ΛΜ = ΚΛ, και άρα οι τρεις Γωνίες ΚΑΛ, ΛΑΜ και ΜΑΝ είναι ισες μεταξύ τους, ως αντιστοιχούσες σε ισες χορδές = τόξα ΚΛ = ΛΜ = ΜΝ του ίδιου κύκλου έχοντος ακτίνα ΑΚ ιση με ΑΛ και ΑΜ και ΑΝ.

Τριχοτόμησις Γωνίας ετελεσθη , όπερ έδει κατασκεύασθαι


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Tριχοτόμηση γωνίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 04 Ιαν 2010, 17:28 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 30 Ιαν 2007, 10:24
Δημοσ.: 232
perseas έγραψε:
Απ'ότι καταλαβαίνω πρόκειται για ένα πολυσύνθετο και πολύπλοκο πρόβλημα που μπορεί ίσως να λύνεται ενίοτε όπως έλυσε ο Μ.Αλέξανδρος τον γόρδιο δεσμό!


Εξαρταται ποιο ειναι το προβλημα που εννοεις. Αν εννοεις :

1. Την τριχοτομηση της γωνιας με κανονα και διαβητη, δεν λυνεται και αποδεδειγμενα δε θα λυθει ποτε.

2. Την πρακτικη τριχοτομηση της γωνιας, υπαρχουν πολυ ακριβεστερα εργαλεια απο κανονες και τριγωνα.

3. Την τριχοτομηση της γωνιας εισαγοντας νεα εργαλεια, μπορει ναι, μπορει και οχι.

Παράθεση:
Ως γεωμετρική κατασκευή όμως αυτή η μέθοδος που παρουσίασα με τα 3 εργαλεία μπορεί να θεωρηθεί ορθή και ικανή να τριχοτομήσει οποιαδήποτε γωνία;


Περα απο 'πακτωσεις', 'ολισθησεις' και λοιπα...μηχανικα, στην ουσια η μεθοδος εισαγει ενα νεο αξιωμα στη γεωμετρια που λεει οτι (υπο καποιες προυποθεσεις), σε δυο τεμνομενες ευθειες και για σημειο K, μπορουμε να κατασκευασουμε ευθ. τμημα δεδομενου μηκους του οποιου τα ακρα να βρισκονται στις ευθειες και το K να βρισκεται επι της μεσοκαθετου του.

Με αυτο το αξιωμα, βεβαιως η (τυχαια) γωνια τριχοτομειται. Αλλα πλεον εχει ελαχιστο ενδιαφερον. Οπως ειπα, ηδη ο Αρχιμηδης ειχε καταφερει κατι παρομοιο.

Δημητρης

_________________
The Axiom of Choice is obviously true, the Wellordering Principle obviously false, and who can tell about Zorn's Lemma ?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Tριχοτόμηση γωνίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 05 Ιαν 2010, 12:14 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 628
Οι μέθοδοι ολίσθησης, γενικώς, δέχονται σιωπηρά ως αξίωμα αυτό που τόνισε ο Dement...

Ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι καθαρά μαθηματικές λύσεις που χρησιμοποιούν αναλλαγματικές καμπύλες (μερικές είναι γνωστές από την αρχαιότητα, όπως η κισσοειδής τού Διοκλή) και προβαίνουν σέ τριχοτόμηση καθε γωνίας... βέβαια χωρις κανόνα και διαβήτη... (από την στιγμή που η \sqrt[3]{2} δεν κατασκεύαζεται με κανόνα και διαβήτη, δεν χρειάζεται να ματαιοπονεί κανείς)
Η ξένη βιβλιογραφία χρησιμοποιεί εδώ τόν όρο quasi-construction, δεδομένου ότι οι αναλλαγματικές καμπύλες δεν κατασκεύαζονται με διαβήτη....μόνο μεμονωμένα σημεία...γιαυτό μιλάμε και για κατασκευή «σημείο πρός σημείο»...

Μιά τέτοια αναλλαγματική καμπύλη είναι και η «trisectrix of Maclaurin»

Εδώ πχ :

http://mathworld.wolfram.com/AnallagmaticCurve.html


Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Tριχοτόμηση γωνίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Ιαν 2010, 19:42 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 17 Μαρ 2008, 20:55
Δημοσ.: 41
Στην ελληνική και διεθνή βιβλιογραφία συνήθως γίνεται το εξής. Τριχοτομείται μια γωνία πχ 90 μοιρών με στοιχειώδη γεωμετρικό τρόπο και ακολούθως με το γνωστο αλγεβρικό τρόπο αποδεικνύεται ότι η γωνία 60 μοιρών δεν τριχοτομείται.Ομως ,όσο τουλάχιστον είναι γνωστό σε μένα,κανένας δεν αποπειράθηκε να αποδείξει ότι γωνίες πχ 37,5 ή 69 μοιρών, οι οποίες κατασκευάζονται, δεν τριχοτομούνται. Η απόδειξη ίσως είναι πολύ δύσκολη. Γίνεται όμως απλή ( προφανής) αν αποδειχτεί η εικασία την οποία έχουμε δημοσιεύσει ( εικασία SP) << Κάθε γωνία που τριχοτομείται έχει μέτρο διαιρετό με το 9 >>.Το μέτρο της γωνίας να είναι ρητός μη περιοδικός αριθμός στην ακέραιη μορφή του. Κατασκευάσαμε και τριχοτομήσαμε άπειρες γωνίες (κυριολεκτικά γιατί ανήκουν σε άπειρες ακολουθίες) και όλες ήταν συμβατές με την εικασία. Θα ήταν βεβαίως πολύ ευχάριστο και εποικοδομητικό να ανατραπεί η εικασία. Αν όμως επιβεβαιωθεί τοτε δε θα χρειάζεται να επιστρατεύεται ο Γκαλουά για να αποδείξουμε ότι η γωνία 20 μοιρών δεν τριχοτομείται.


Τελευταία επεξεργασία απο ilis την 12 Ιαν 2010, 11:20, επεξεργάστηκε 4 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Tριχοτόμηση γωνίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Ιαν 2010, 20:51 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 628
Η «εικασία» σου δουλεύει...και δεν θα μπορούσε να μην δουλεύει...γιατί κάθε γωνία μέτρου 3n, με n ακέραιο, κατασκεύαζεται!!

Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Tριχοτόμηση γωνίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Ιαν 2010, 21:27 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 17 Μαρ 2008, 20:55
Δημοσ.: 41
Apokalyptikos έγραψε:
Η «εικασία» σου δουλεύει...και δεν θα μπορούσε να μην δουλεύει...γιατί κάθε γωνία μέτρου 3n, με n ακέραιο, κατασκεύαζεται!!

Αποκαλυπτικός

Είσαι εκτός θέματος. Η εικασία υπάρχει χωρίς εισαγωγικά. Διάβασε και τα προηγούμενα.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Tριχοτόμηση γωνίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Ιαν 2010, 11:29 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 628
Αν έχεις την καλωσύνη απάντησέ μου γιατι είμαι εκτός θέματος....

Αυτό που έγραψα είναι η βάση τής απόδειξης τού κάτωθι θεωρήματος για ακέραιες γωνίες πχ. :

Μιά κατασκεύασιμη γωνία τριχοτομείται εάν και μόνο εάν τό ακέραιο μέτρο της διαιρείται διά τού 9

Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Tριχοτόμηση γωνίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Ιαν 2010, 19:46 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 17 Μαρ 2008, 20:55
Δημοσ.: 41
Eυχαρίστως αλλά προηγουμένως θα ήθελα να μου αναφέρεις ένα τουλάχιστον βιβλίο όπου υπάρχει αυτό το << θεώρημα >> και αν μπορείς να γράψεις όχι τη βάση της απόδειξης αλλά όλη την απόδειξη.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Tριχοτόμηση γωνίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Ιαν 2010, 21:05 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 11 Φεβ 2007, 21:13
Δημοσ.: 628
Διακρίνω δυσπιστία...γιαυτό θα αναφέρω ένα που μπορείς να τσεκάρεις άμεσα...υπάρχει στο google-books :

Craig Smorynski
History of Mathematics
A supplement

Σελίδα 111, Corllary 4.2

Άλλοι το έχουν σαν θεώρημα...

Αποκαλυπτικός


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Tριχοτόμηση γωνίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 09 Ιαν 2010, 00:58 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 17 Μαρ 2008, 20:55
Δημοσ.: 41
Θα επαναλάβω μερικά πράγματα.Η γωνία 22,5 η γωνία 20,25 η γωνία 4,21875 και άπειρες άλλες κατασκευάζονται και τριχοτομούνται αλλά δεν έχουν σχέση με το θεώρημα και το πόρισμα που αναφέρει ο Smorynski στην ιστορία των Μαθηματικών.Οι γωνίες εκεί έχουν μέτρο φυσικό αριθμό. Γι αυτο είπα ότι είσαι εκτός θέματος. Σύμφωνα με το πόρισμα αυτό η γωνία πχ 225 κατασκευάζεται και τριχοτομείται και προφανώς το ίδιο ισχύει για τη γωνία 252 γιατι διαιρούνται με το 9.Aν υποθέσουμε ότι το πόρισμα τρέχει και για δεκαδικούς αριθμούς θα ίσχυε ότι αφού η γωνία 22,5 κατασκευάζεται και τριχοτομείται το ίδιο συμβαίνει και για τη γωνία 25,2 ( αφού πρώτα άλλαζε η διατύπωσή του ) Αυτό όμως δεν ισχύει. Η εικασία αναφέρεται σε ρητούς μη περιοδικούς αριθμούς.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Tριχοτόμηση γωνίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 09 Ιαν 2010, 12:09 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 14 Νοέμ 2008, 13:03
Δημοσ.: 105
ilis έγραψε:
Θα επαναλάβω μερικά πράγματα.Η γωνία 22,5 η γωνία 20,25 η γωνία 4,21875 και άπειρες άλλες κατασκευάζονται και τριχοτομούνται αλλά δεν έχουν σχέση με το θεώρημα και το πόρισμα που αναφέρει ο Smorynski στην ιστορία των Μαθηματικών.Οι γωνίες εκεί έχουν μέτρο φυσικό αριθμό.


Και όμως έχουν σχέση με το υπόψη θεώρημα, ως προϊόντα διαδοχικών διχοτομήσεων τριχοτομούμενων γωνιών. {Δηλαδή γωνιών με μέτρο φυσικό αριθμό μοιρών, διαιρούμενο με το 9.}

22,5= 45/2
20,25=81/2^2
4,21875=135/2^5

Όλες αυτές οι γωνίες (45, 81, 135, κ.α.π.) κατασκευάζονται και τριχοτομούνται. Συνεπώς και οι προκύπτουσες με τις διαδοχικές διχοτομήσεις αυτών.

ilis έγραψε:
Γι αυτο είπα ότι είσαι εκτός θέματος. Σύμφωνα με το πόρισμα αυτό η γωνία πχ 225 κατασκευάζεται και τριχοτομείται και προφανώς το ίδιο ισχύει για τη γωνία 252 γιατι διαιρούνται με το 9.Aν υποθέσουμε ότι το πόρισμα τρέχει και για δεκαδικούς αριθμούς θα ίσχυε ότι αφού η γωνία 22,5 κατασκευάζεται και τριχοτομείται το ίδιο συμβαίνει και για τη γωνία 25,2 ( αφού πρώτα άλλαζε η διατύπωσή του ) Αυτό όμως δεν ισχύει.


Και φυσικά δεν ισχύει, αφού μόνο η γωνία των 22,5 μοιρών προκύπτει με διχοτόμηση της τριχοτομούμενης γωνίας των 45 μοιρών. Το πόρισμα δηλαδή "τρέχει" όχι επειδή 2+2+5=9, αλλά επειδή η γωνία των 22,5 μοιρών είναι προϊόν διχοτόμησης της τριχοτομούμενης γωνίας των 45 μοιρών.
Κάτι αντίστοιχο όμως δεν συμβαίνει με τη γωνία των 25,2 μοιρών.

ilis έγραψε:
Η εικασία αναφέρεται σε ρητούς μη περιοδικούς αριθμούς.


Ασχολίαστο...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Tριχοτόμηση γωνίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 09 Ιαν 2010, 23:04 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 14 Νοέμ 2008, 13:03
Δημοσ.: 105
Και μια που μιλάμε για τριχοτομήσεις γωνιών, ενδιαφέρουσα ομορφιά έχει και το εξής.

Ας υποθέσουμε προς στιγμήν ότι μπορούμε να τριχοτομήσουμε οποιαδήποτε γωνία και έστω ΑΒΓ τυχόν τρίγωνο. Ονομάζουμε ΑΒ' και ΑΓ' τις τριχοτόμους της γωνίας Α (τα Β' και Γ' επί της ΒΓ), ΒΑ' και ΒΓ' τις τριχοτόμους της γωνίας Β (τα Α' και Γ' επί της ΑΓ) και ομοίως ΓΑ' και ΓΒ' της τριχοτόμους της γωνίας Γ (τα Α' και Β' επί της ΑΒ).
Αν Δ το σημείο τομής των ΑΒ' και ΒΑ', Ε το σημείο τομής των ΑΓ' και ΓΑ' και Ζ το σημείο τομής των ΒΓ' και ΓΒ', να δειχθεί πως το τρίγωνο ΔΕΖ θα είναι ισόπλευρο.

Ωραίο δεν είναι?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Tριχοτόμηση γωνίας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Ιαν 2010, 11:57 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 17 Μαρ 2008, 20:55
Δημοσ.: 41
Για να έχουμε λοιπον όλες τις περιπτώσεις η διατύπωση του θεωρήματος μπορεί να είναι έτσι
<< Μια γωνία μπορεί να τριχοτομηθεί με κ.και δ.εάν και μόνο εάν το μέτρο της είναι 180κ/ν όπου κ, ν θετικοί ακέραιοι και ν μη διαιρετός δια 3 >> Σωστό?


Τελευταία επεξεργασία απο ilis την 11 Ιαν 2010, 18:15, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 67 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2, 3, 4, 5  Επόμενο

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group