forum.math.uoa.gr

Δίνονται δύο γωνίες η μία με μέτρο 13,5 μοίρες και η άλλη με μέτρο 24,75 μοίρες. α) οι γωνίες τριχοτομούνται με κανόνα και διαβήτη β) τριχοτομείται η πρώτη με κ. και δ. γ) τριχοτομείται η δεύτερη με κ. και δ. δ) δεν τριχοτομούνται με κ. και δ. Ποια είναι η σωστή απάντηση;

αν θυμαμαι καλα ενα απο τα 3 μεγαλυτερα προβληματα της αρχαιοτητας , μαζι με τον τετραγωνισμο του κυκλου και τον διπλασιασμο του κυβου ηταν η τριχοτομηση οποιασδηποτε γωνιας με χρηση κανονα και διαβητη και αποδειχθηκε οτι και τα 3 ειναι αλυτα.διορθωστε με αν κανω λαθος...
αυτο με τον κυκλο εχει να κανει με την υπερβατικοτητα του π νομιζω..

To πρόβλημα της τριχοτόμησης γωνίας είναι γενικά άλυτο. Ομως υπάρχουν γωνίες που τριχοτομούνται με κανόνα και διαβήτη όπως πχ. η γωνια 90 μοιρών.

Η τριχοτόμηση είναι δυνατή μόνο γιά γωνίες τών οποίων τό cosinus μπορεί να γραφτεί σάν:

, όπου ακέραιοι.

Αποκαλυπτικός

Απ: α) και οι 2

Αποδ.:
1)Τριχοτόμηση γωνίας ανάγεται στην κατασκευή (με κανόνα και διαβήτη) γωνίας με μέτρο ίσο του 1/3 της αρχικής.
2)Γνωρίζουμε πως κατασκευάζεται η γωνία 60 μοιρών.
3)Αν έχουμε μια δοθείσα γωνία τότε μπορούμε να κατασκευάσουμε γωνία μέτρου πολλ. της αρχικής.
4)Αν έχουμε 2 γωνίες τότε κατασκευάζεται γωνία με μέτρο το απόλυτο της διαφοράς τους.

Παρατηρούμε πως :
και τέλος

Σωστή η απάντηση. Kαι οι δύο τριχοτομούνται με κανόνα και διαβήτη.
Διατυπώνω τώρα την εικασία: Αν μία γωνία τριχοτομείται με κανόνα και διαβήτη και έχει μέτρο ρητό μη περιοδικό αριθμό Μ, το άθροισμα των ψηφίων του Μ, διαιρείται με το 9. Τι λέτε;
Το αντίστροφο συζητείται.

Καπου το ειχα δει αυτο οταν ημουν μικρος αλλα δε θυμαμαι που...Εχει πλακα να το δειτε!!
Λοιπον,

Παρτε ενα καρτεσιανο συστημα και ζωγραφιστε τυχαια γωνια με κορυφη το Ο.Για να βγει ωραιο σχημα πρτε τη μια πλευρα στο πρωτο τεταρτημοριο και την αλλη στο δευτερο.

Με κεντρο το 0 και ακτινα περιπου 3(δεν εχει σημασια ποσο θα το παρετε απλα για να φαινετε καθαρα το σχημα)σχηματιστε κυκλο.

Εστω Α το σημεια τομης του κυκλου με τις της πλευρες της γωνιας.

Ανοιξτε το διαβητη κατα ΑΒ και παρτε το τμημα ΟΚ=2ΑΒ πανω στον Οy'.

Ενωστε το Κ με το Α (ή το Β).Εστω Λ το σημειο τομης του ΑΚ με τον χ'χ.

Ανοιξτε το διαβητη κατα ΟΛ και παρατηρηστε οτι η γωνια που πηρατε κοβεται στα τρια με αυτο το τοξο

Θα ήθελα να επαναλάβω το ερώτημα αν γνωρίζει κάποιος γωνία με μέτρο ρητό αριθμό, που το άθροισμα των ψηφίων του ρητού (ακέραιου μέρους και δεκαδικού)να μην είναι διαιρετό με το 9, και να τριχοτομείται με κανόνα και διαβήτη.

Δε νομίζω να κατάλαβα καλά τις υποθέσεις ,δώσε ένα παράδειγμα...

Πρόσφατα είδα ένα έξυπνο θέμα σχετικά με τριχοτόμηση γωνίας και μιας και αρχίσαμε τέτοια συζήτηση ιδού :

Μπορεί να τριχοτομηθεί (με κανόνα και διαβήτη)γωνία με μέτρο 180/ν μοίρες όπου το ν θετικός ακέραιος και δε διαιρείται με 3;

Η 180/1=180 τριχοτομείται η 180/2=90 τριχοτομείται αλλά η 180/3=60 είναι γνωστό ότι δεν τριχοτομείται. Η 180/4=45 τριχοτομείται, η180/5=36 τριχοτομείται, η180/6=30 δεν τριχοτομείται κ.λ.π.
Αν μπορούσαμε να τριχοτομήσουμε την 180/60=3 θα κατασκευάζαμε με κανόνα και διαβήτη τη γωνία 1 μοίρας που δεν γίνεται.
Από τα παραπάνω παραδείγματα φαίνεται ότι οι γωνίες που τριχοτομούνται έχουν μέτρο διαιρετό με το 9.
Επίσης η 180/8=22,5 τριχοτομείται αλλά και εδώ έχουμε 2+2+5=9.
Μάλλον συμφωνούμε λοιπόν.

Θα ήθελα να προσθέσω ότι ο λόγος 180/ν, ν φυσικός, είναι ικανός αλλά όχι αναγκαίος για να δώσει γωνίες που τριχοτομούνται με κανόνα και διαβήτη. Για παρά δειγμα η 180/2,5=72 τριχοτομείται.

Εχω αναφερει σε άλλο φορουμ πως οι γωνιες που τριχοτομουνται είναι και της μορφης
Θ=3κ/(3χ+1) Θ=3κ/(3χ-1) οπου κ κατασκευασιμη γωνια, χ ακεραιος θετικος και Θ σε μοιρες.
Σε αυτό κατεληξα υστερα από προσωπικη μελετη.

Ακομα και οι γωνιες της παραπανω μορφης ακολουθουν τη δικη σου εικασια. Δε καταφερα να βρω μια που να ξεφευγει. Βρισκω εντυπωσιακη την παρατηρηση σου.

Εγω θελω να ρωτησω κατι άλλο. Ποιες από τις παραπανω όμως κατασκευαζονται ώστε να μπορουν να τριχοτομηθουν;

Φίλε coincidence,και όμως κατασκευάζονται όλες (εικάζω).Εγώ έχω κατασκευάσει εκατοντάδες απ' αυτές.Αν σ'ενδιαφέρει (ή οποιονδήποτε άλλον),στείλε μου μια γωνία και θα σου απαντήσω.

Φιλέ Ilis, συμφώνα με τον τύπο που σου έγραψα παραπάνω οι γωνίες που έχουν μέτρο ρητό μη περιοδικό αριθμό (22.5 67.5 13.5 24.75 10.8 κ.α.), εύκολα μπορούν να κατασκευαστούν και να τριχοτομηθούν. Και παράλληλα ακλουθούν την εικασία σου. Τι γίνεται με όλες τις υπόλοιπες όμως;
κατασκευάζεται η γωνία 270/34;
κατασκευάζεται η γωνία 270/13;

Η πρώτη εικάζω ότι κατασκευάζεται και τριχοτομείται. Τι γνώμη έχεις για τη δεύτερη; Αν μπορείς εσύ να κατασκευάσεις την δεύτερη, τότε εγώ μπορώ να την τριχοτομήσω.

Η εικασία αναφέρεται σε γωνίες που έχουν μέτρο μη περιοδικό αριθμό προφανώς αφού μιλάμε για άθροισμα ψηφίων. Οι γωνίες που μου στέλνεις έχουν μέτρο περιοδικό αριθμό. Γι αυτές τις γωνίες είχα διατυπώσει άλλη εικασία η οποία αποδείχθηκε ότι επιβεβαιώνεται απο θεώρημα της θεωρίας αριθμών.
Η γωνία 270/34 εικάζεις ότι κατασκευάζεται. Η απάντηση είναι ναι.
Απόδειξη: Κατασκευάζω κανονικό 17γωνο ( Γκάους) και μετά με διπλασιασμούς 34γωνο, 68γωνο, 136γωνο.Η κεντρική γωνία του 136γώνου είναι 360/136 = 45/17. Κατασκευάζω τη γωνία 45/17 x 3 =135/17 = 270/34 η οποία είναι ήδη τριχοτομημένη.
Η γωνία 270/13 δεν κατασκευάζεται.
Απόδειξη: Παίρνω τη γωνία 45/13. Αν μπορούσα να την κατασκευάσω τότε θα κατασκεύαζα και την γωνία 45/13 x 8 = 360/13 που είναι η κεντρική γωνία κανονικού 13γώνου. Ομως κανονικό 13γωνο δεν κατασκευάζεται, αρα ούτε η γωνία 45/13 και επομένως ούτε η γωνία 45/13 x 6 =270/13.