forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 25 Σεπ 2017, 22:23

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 118 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα 1, 2, 3, 4, 5 ... 8  Επόμενο
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Υπάρχει το 0, 9999999... ;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Οκτ 2011, 18:33 
Χωρίς σύνδεση
Banned

Εγγραφή: 10 Σεπ 2011, 13:56
Δημοσ.: 222
Είδα στο φόρουμ ότι υπάρχουν σχετικά θέματα, ωστόσο το ερώτημα διαφέρει. Αν το 0, 9999999... = 1, ο αριθμός 0, 9999999... υπάρχει και πότε τον χρησιμοποιούμε σαν 1 και πότε σαν 0, 9999999... ; Δεν είναι αναγκαίο να συζητηθεί βέβαια αν υπάρχει στάνταρ απάντηση στηριγμένη σε αξίωμα ή αν το θέμα θεωρείται λήξαν με την έννοια της εξάντλησής του.

_________________
Το ξέρω. Σκέψου μήπως κάτι σημαίνει...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Υπάρχει το 0, 9999999... ;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Οκτ 2011, 18:36 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 03 Οκτ 2007, 19:29
Δημοσ.: 297
Δεν είναι θέμα αξιώματος, αλλά ορισμού σύγκλισης σειράς. Το 0,99999.... εκφράζει μία σειρά και όταν λες 0,999...=1 εννοείς ότι η σειρά συγκλίνει στο 1.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Υπάρχει το 0, 9999999... ;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Οκτ 2011, 20:18 
Χωρίς σύνδεση
Banned

Εγγραφή: 10 Σεπ 2011, 13:56
Δημοσ.: 222
Valefor έγραψε:
Δεν είναι θέμα αξιώματος, αλλά ορισμού σύγκλισης σειράς. Το 0,99999.... εκφράζει μία σειρά και όταν λες 0,999...=1 εννοείς ότι η σειρά συγκλίνει στο 1.


Δηλαδή, για να εκφράσουμε τη σύγκλιση χρησιμοποιούμε το σύμβολο (=) της ισότητας;
Συμπεραίνω επίσης από την απάντηση, πως το 0, 99999.... είναι σύγκλιση και όχι αριθμός αν και παράγεται από πράξεις αριθμών, ή αλλιώς πρόκειται για συνωνυμία. Μήπως έχεις υπόψη σου τον ορισμό του αριθμού - π.χ η έννοια "αριθμός" στους πραγματικούς αριθμούς πως ερμηνεύεται; - για να διαπιστώσουμε, αν ο αριθμός είναι σύγκλιση ή η σύγκλιση αριθμός, όπως λες και να κατανοήσουμε το 0, 9999.... χωρίς κενά ή άλματα στην αντίληψη; Αν βέβαια μας ενδιαφέρει και μας απασχολεί από κοινού το θέμα, που καθόλου δεν είναι υποχεωτικό ασφαλώς.

_________________
Το ξέρω. Σκέψου μήπως κάτι σημαίνει...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Υπάρχει το 0, 9999999... ;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Οκτ 2011, 22:06 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 12 Ιούλ 2010, 08:10
Δημοσ.: 101
Τι σημαίνει "σύγκλιση και όχι αριθμός"; Κάθε πραγματικός αριθμός είναι όριο κάποιοας ακολουθίας...Πού είναι το πρόβλημα;

_________________
"I don't believe in empirical science. I only believe in a priori truth."
— Kurt Friedrich Gödel


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Υπάρχει το 0, 9999999... ;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 01 Οκτ 2011, 23:44 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 27 Σεπ 2007, 18:07
Δημοσ.: 1920
φιλε οφελιμε ανοιξε ενα βιβλιο απειροστικου λογισμου, διαβασε περι σειρων κ θα σου λυθουν ολες σου οι αποριες...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Υπάρχει το 0, 9999999... ;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Οκτ 2011, 00:31 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 26 Σεπ 2009, 00:58
Δημοσ.: 517
Τοποθεσια: Πειραιάς
χαχα θυμαμαι αυτο το καναμε στο πρωτο μαθημα θεμελιων κ το μισο αμφιθεατρο ειχε παθει σοκ :D
"μα πως ειναι δυνατον! μα πως γινεται!" :P

τσπ, επι του θεματος, ουτε εγω ειχα πολυκαταλαβει γιατι συμβαινει αυτο ποιοτικα (οχι τεχνικα, διοτι μεσα απο την αποδειξη ειχα πειστει)
κ οσον αφορα στο ποτε χρησιμοποιουμε τι...ε, ενταξει υποθετω οτι εξαρταται, αναλογως τι θελουμε να εκφρασουμε την καθε στιγμη, που θελουμε να δωσουμε βαρος..


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Υπάρχει το 0, 9999999... ;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Οκτ 2011, 00:48 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 15 Απρ 2010, 12:38
Δημοσ.: 101
Παιδιά αν δε το έχετε καταλάβει είναι ένας τύπος που αλλάζει πολλά ψευδώνυμα. Ότι και να πείτε όσο σωστό και να είναι θα σας ζαλίσει τον έρωτα. Μη χαλάτε τη ζαχαρένια σας.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Υπάρχει το 0, 9999999... ;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Οκτ 2011, 01:31 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 25 Αύγ 2010, 16:03
Δημοσ.: 686
Φίλε οφέλιμε πέρα από ισότητες κλπ μήπως πρέπει να συμφωνήσουμε ότι οφέλιμος \rightarrow aoristos?

_________________
-


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Υπάρχει το 0, 9999999... ;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Οκτ 2011, 07:31 
Χωρίς σύνδεση
Banned

Εγγραφή: 10 Σεπ 2011, 13:56
Δημοσ.: 222
constantinos έγραψε:
Τι σημαίνει "σύγκλιση και όχι αριθμός"; Κάθε πραγματικός αριθμός είναι όριο κάποιοας ακολουθίας...Πού είναι το πρόβλημα;


Το πρόβλημα είναι στην μειωμένη μου αντίληψη.
constantinos, η σύγκλιση είναι πράξη - εν προκειμένω - δύο ορίων, για τα οποία όρια λες ότι το καθένα είναι πραγματικός αριθμός. Ο.κ. Το περίφημο 0, 99999.... σαν ένα επ` άπειρον όριο ή ένας πραγματικός αριθμός, συγκλίνει με το 1 σαν άλλο όριο ή άλλον πραγματικό αριθμό. Ο.κ. Κατανοητό. Όμως. Η σύγκλιση ταυτίζει κάπου, κάποτε, αυτά τα συγκλίνοντα όρια ή πάντα θα είναι διακριτά μεταξύ τους και θα έχουν το χαρακτηριστικό συνεχώς να συγκλίνουν το μεν σαν 0,99999..... και το άλλο σαν 1; Το 0,9999...=1 δηλώνει ταύτιση κατά τη σύγκλιση μέσω του "ίσον" και εξαφάνιση του 0, 99999.... ή αντίστροφα εξαφάνιση του 1, διότι με ποιο κριτήριο θα ταυτιοστούν στο 1 και όχι στο 0,9999.....; Απλά πράγματα και αυτό που ρωτάς "Τι σημαίνει σύγκλιση και όχι αριθμός" είναι δικό μου ερώτημα διότι δες πιο πάνω ποιος είπε ότι είναι σύγκλιση κάτι το οποίο δεν έλαβες καθόλου υπόψη σου αναφερόμενος στα όρια ακολουθίας. Άλλο όριο - αριθμός - και άλλο σύγκλιση - πράξη - την οποία δεν ανέφερα εγώ.
Το σπουδαιότερο όμως: Το ότι "κάθε πραγματικός αριθμός είναι όριο κάποιας ακολουθίας" είναι ορισμός ή είναι αξίωμα και κυρίως με ποιον ορισμό του αριθμού; Τι ειναι αριθμός, έννοια που χρησιμοποιούμε στην έκφραση πραγματικός αριθμός; Τι ιδιότητες έχει ο ίδιος ο αριθμός - σαν έννοια - στους πραγματικούς αριθμούς; Δες την σπουδαία υπογραφή του eliascm21, μετάφερέ τη στα μαθηματικά, για να συνεννοηθούμε. Απλά πράγματα. Αν εσύ άνετος δεν βλέπεις πρόβλημα και τα κατανοείς όλα και εύκολα, μαζί σου. Μέχρι τόσο μπορώ να σκεφτώ και μη με παρεξηγείς. Όλα καλά λοιπόν και πρόβλημα κανένα. Όταν συζητάμε μαθηματικά, κυρίως δεν αναστατωνόμαστε. Απαντάμε και τελειώνει - όπως εσύ - ή λέμε δεν ξέρω και δεν χάθηκε ο κόσμος.

_________________
Το ξέρω. Σκέψου μήπως κάτι σημαίνει...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Υπάρχει το 0, 9999999... ;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Οκτ 2011, 07:33 
Χωρίς σύνδεση
Banned

Εγγραφή: 10 Σεπ 2011, 13:56
Δημοσ.: 222
panos19 έγραψε:
φιλε οφελιμε ανοιξε ενα βιβλιο απειροστικου λογισμου, διαβασε περι σειρων κ θα σου λυθουν ολες σου οι αποριες...


Χρήσιμη η συμβουλή σου. Ευχαριστώ.

_________________
Το ξέρω. Σκέψου μήπως κάτι σημαίνει...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Υπάρχει το 0, 9999999... ;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Οκτ 2011, 07:35 
Χωρίς σύνδεση
Banned

Εγγραφή: 10 Σεπ 2011, 13:56
Δημοσ.: 222
ioli_13 έγραψε:
χαχα θυμαμαι αυτο το καναμε στο πρωτο μαθημα θεμελιων κ το μισο αμφιθεατρο ειχε παθει σοκ :D
"μα πως ειναι δυνατον! μα πως γινεται!" :P

τσπ, επι του θεματος, ουτε εγω ειχα πολυκαταλαβει γιατι συμβαινει αυτο ποιοτικα (οχι τεχνικα, διοτι μεσα απο την αποδειξη ειχα πειστει)
κ οσον αφορα στο ποτε χρησιμοποιουμε τι...ε, ενταξει υποθετω οτι εξαρταται, αναλογως τι θελουμε να εκφρασουμε την καθε στιγμη, που θελουμε να δωσουμε βαρος..


Το κακό με μένα είναι ότι δυσκολεύομαι να ξεσοκαριστώ, αλλά αυτό είναι δικό μου πρόβλημα.

_________________
Το ξέρω. Σκέψου μήπως κάτι σημαίνει...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Υπάρχει το 0, 9999999... ;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Οκτ 2011, 07:39 
Χωρίς σύνδεση
Banned

Εγγραφή: 10 Σεπ 2011, 13:56
Δημοσ.: 222
otinanai έγραψε:
Φίλε οφέλιμε πέρα από ισότητες κλπ μήπως πρέπει να συμφωνήσουμε ότι οφέλιμος \rightarrow aoristos?


otinanai, ....κοίτα να δεις τι έπαθα! Πέρα από όλα τα άλλα ξέχασα τι ήθελα να σου πω και μένω στο όνομά σου, otinanai....

_________________
Το ξέρω. Σκέψου μήπως κάτι σημαίνει...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Υπάρχει το 0, 9999999... ;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Οκτ 2011, 10:02 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 24 Φεβ 2010, 13:15
Δημοσ.: 372
οφέλιμος έγραψε:
constantinos έγραψε:
Τι σημαίνει "σύγκλιση και όχι αριθμός"; Κάθε πραγματικός αριθμός είναι όριο κάποιοας ακολουθίας...Πού είναι το πρόβλημα;


Το πρόβλημα είναι στην μειωμένη μου αντίληψη.
constantinos, η σύγκλιση είναι πράξη - εν προκειμένω - δύο ορίων, για τα οποία όρια λες ότι το καθένα είναι πραγματικός αριθμός. Ο.κ. Το περίφημο 0, 99999.... σαν ένα επ` άπειρον όριο ή ένας πραγματικός αριθμός, συγκλίνει με το 1 σαν άλλο όριο ή άλλον πραγματικό αριθμό. Ο.κ. Κατανοητό. Όμως. Η σύγκλιση ταυτίζει κάπου, κάποτε, αυτά τα συγκλίνοντα όρια ή πάντα θα είναι διακριτά μεταξύ τους και θα έχουν το χαρακτηριστικό συνεχώς να συγκλίνουν το μεν σαν 0,99999..... και το άλλο σαν 1; Το 0,9999...=1 δηλώνει ταύτιση κατά τη σύγκλιση μέσω του "ίσον" και εξαφάνιση του 0, 99999.... ή αντίστροφα εξαφάνιση του 1, διότι με ποιο κριτήριο θα ταυτιοστούν στο 1 και όχι στο 0,9999.....; Απλά πράγματα και αυτό που ρωτάς "Τι σημαίνει σύγκλιση και όχι αριθμός" είναι δικό μου ερώτημα διότι δες πιο πάνω ποιος είπε ότι είναι σύγκλιση κάτι το οποίο δεν έλαβες καθόλου υπόψη σου αναφερόμενος στα όρια ακολουθίας. Άλλο όριο - αριθμός - και άλλο σύγκλιση - πράξη - την οποία δεν ανέφερα εγώ.
Το σπουδαιότερο όμως: Το ότι "κάθε πραγματικός αριθμός είναι όριο κάποιας ακολουθίας" είναι ορισμός ή είναι αξίωμα και κυρίως με ποιον ορισμό του αριθμού; Τι ειναι αριθμός, έννοια που χρησιμοποιούμε στην έκφραση πραγματικός αριθμός; Τι ιδιότητες έχει ο ίδιος ο αριθμός - σαν έννοια - στους πραγματικούς αριθμούς; Δες την σπουδαία υπογραφή του eliascm21, μετάφερέ τη στα μαθηματικά, για να συνεννοηθούμε. Απλά πράγματα. Αν εσύ άνετος δεν βλέπεις πρόβλημα και τα κατανοείς όλα και εύκολα, μαζί σου. Μέχρι τόσο μπορώ να σκεφτώ και μη με παρεξηγείς. Όλα καλά λοιπόν και πρόβλημα κανένα. Όταν συζητάμε μαθηματικά, κυρίως δεν αναστατωνόμαστε. Απαντάμε και τελειώνει - όπως εσύ - ή λέμε δεν ξέρω και δεν χάθηκε ο κόσμος.


Φίλε οφελιμος θα ήθελα να σου εκφράσω κι εγώ την άποψη μου περί του θέματος όμως θα μου επιτρεψεις να κάνω ένα σχόλιο πρώτα που μάλλον είναι εκτός θέματος...
Παρακολουθώ, λοιπόν, όσο καιρό είμαι στο φόρουμ ότι στα topic που δημιουργείσ θέτεισ πολύ ωραία μαθηματικά ερωτήματα που πραγματικά είναι πολύ χρήσιμες οι απαντήσεις τους για τον καθένα μη μαθηματικό ή μαθηματικό που διαβάζει το φόρουμ. Παρ´ όλα αυτά όταν σου δίνονται οι απαντήσεις θετεις κάποια ερωτήματα πάνω σ αυτές που κατα την γνώμη μου είναι περισσότερο παραπλανητικά παρά αποσαφινιστικα. Έχω δε καταλήξει στο συμπέρασμα ότι δεν σε ενδιαφέρει το αρχικό ερώτημα αυτό καθ αυτό αλλά προσπαθείς να οδηγησεις σε μια δήθεν παγίδα τους συναδέλφους που σου απαντούν χωρίς αυτό να βγάζει κάποιο νόημα.
Ας έρθω στο θέμα λοιπόν και εύχομαι να μπορέσω να σου ξεκαθαρίσω την απορία. Το 0.99999999 = 1 δεν ισχύει αυστηρά ( για να έρθω και σε ένα άλλο θέμα που είχες δημοσιεύσει ). Αυτό που πραγματικά ισχύει είναι ότι η ακολουθία που έχει ως όριο τον 0.99999 είναι οσοδηποτε κοντά στο 1 έτσι που για οποιονδήποτε ε>0, [ 1 - 0.99999... ] < ε . Δεχόμαστε λοιπόν ότι 0,99999... = 1 λόγω αυτής της ιδιότητας, και σε περιπτώσεις που αυτή η παραδοχή μας διευκολύνει στις πράξεις. Δεν μας ενοχλεί ένα σφάλμα της τάξης του 0.000000.....1 στις περισσότερες περιπτώσεις γι' αυτό και μπορεί να έχεις δει σε κάποιο βιβλίο ότι θεωρούμε 0.99999... = 1...

Υ.Γ : Το σχόλιο μου στην αρχή είναι με πολύ καλή διάθεση και ουδεμία πρόθεση είχα να σε προσβαλλω με αυτό φίλε μου...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Υπάρχει το 0, 9999999... ;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Οκτ 2011, 13:36 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 23 Νοέμ 2006, 10:32
Δημοσ.: 1888
MathMar έγραψε:
Ας έρθω στο θέμα λοιπόν και εύχομαι να μπορέσω να σου ξεκαθαρίσω την απορία. Το 0.99999999 = 1 δεν ισχύει αυστηρά ( για να έρθω και σε ένα άλλο θέμα που είχες δημοσιεύσει ). Αυτό που πραγματικά ισχύει είναι ότι η ακολουθία που έχει ως όριο τον 0.99999 είναι οσοδηποτε κοντά στο 1 έτσι που για οποιονδήποτε ε>0, [ 1 - 0.99999... ] < ε . Δεχόμαστε λοιπόν ότι 0,99999... = 1 λόγω αυτής της ιδιότητας, και σε περιπτώσεις που αυτή η παραδοχή μας διευκολύνει στις πράξεις. Δεν μας ενοχλεί ένα σφάλμα της τάξης του 0.000000.....1 στις περισσότερες περιπτώσεις γι' αυτό και μπορεί να έχεις δει σε κάποιο βιβλίο ότι θεωρούμε 0.99999... = 1...
Να διορθώσω μόνο ότι το 0.999...=1 ισχύει αυστηρά και δεν είναι παραδοχή, αφού αν 0\le x<\epsilon για κάθε \epsilon>0 τότε ο x είναι μηδέν.

Για περισσότερα δείτε εδώ, σελίδα 35 του pdf (Δεκαδική παράσταση δεκαδικών αριθμών). Αυτό που κουβεντιάζουμε αναφέρεται στο θεώρημα 2.3.12 (β) (διπλή δεκαδική αναπαράσταση κάποιων αριθμών).

_________________
"Πριν ξεκινήσουμε να συζητάμε, πρέπει πρώτα να ορίζουμε τις έννοιες για να μπορέσουμε να συνεννοηθούμε" - Σωκράτης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Υπάρχει το 0, 9999999... ;
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 02 Οκτ 2011, 14:16 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 12 Ιούλ 2010, 08:10
Δημοσ.: 101
οφέλιμος έγραψε:
constantinos έγραψε:
Τι σημαίνει "σύγκλιση και όχι αριθμός"; Κάθε πραγματικός αριθμός είναι όριο κάποιοας ακολουθίας...Πού είναι το πρόβλημα;


Το πρόβλημα είναι στην μειωμένη μου αντίληψη.
constantinos, η σύγκλιση είναι πράξη - εν προκειμένω - δύο ορίων, για τα οποία όρια λες ότι το καθένα είναι πραγματικός αριθμός. Ο.κ. Το περίφημο 0, 99999.... σαν ένα επ` άπειρον όριο ή ένας πραγματικός αριθμός, συγκλίνει με το 1 σαν άλλο όριο ή άλλον πραγματικό αριθμό. Ο.κ. Κατανοητό. Όμως. Η σύγκλιση ταυτίζει κάπου, κάποτε, αυτά τα συγκλίνοντα όρια ή πάντα θα είναι διακριτά μεταξύ τους και θα έχουν το χαρακτηριστικό συνεχώς να συγκλίνουν το μεν σαν 0,99999..... και το άλλο σαν 1; Το 0,9999...=1 δηλώνει ταύτιση κατά τη σύγκλιση μέσω του "ίσον" και εξαφάνιση του 0, 99999.... ή αντίστροφα εξαφάνιση του 1, διότι με ποιο κριτήριο θα ταυτιοστούν στο 1 και όχι στο 0,9999.....; Απλά πράγματα και αυτό που ρωτάς "Τι σημαίνει σύγκλιση και όχι αριθμός" είναι δικό μου ερώτημα διότι δες πιο πάνω ποιος είπε ότι είναι σύγκλιση κάτι το οποίο δεν έλαβες καθόλου υπόψη σου αναφερόμενος στα όρια ακολουθίας. Άλλο όριο - αριθμός - και άλλο σύγκλιση - πράξη - την οποία δεν ανέφερα εγώ.
Το σπουδαιότερο όμως: Το ότι "κάθε πραγματικός αριθμός είναι όριο κάποιας ακολουθίας" είναι ορισμός ή είναι αξίωμα και κυρίως με ποιον ορισμό του αριθμού; Τι ειναι αριθμός, έννοια που χρησιμοποιούμε στην έκφραση πραγματικός αριθμός; Τι ιδιότητες έχει ο ίδιος ο αριθμός - σαν έννοια - στους πραγματικούς αριθμούς; Δες την σπουδαία υπογραφή του eliascm21, μετάφερέ τη στα μαθηματικά, για να συνεννοηθούμε. Απλά πράγματα. Αν εσύ άνετος δεν βλέπεις πρόβλημα και τα κατανοείς όλα και εύκολα, μαζί σου. Μέχρι τόσο μπορώ να σκεφτώ και μη με παρεξηγείς. Όλα καλά λοιπόν και πρόβλημα κανένα. Όταν συζητάμε μαθηματικά, κυρίως δεν αναστατωνόμαστε. Απαντάμε και τελειώνει - όπως εσύ - ή λέμε δεν ξέρω και δεν χάθηκε ο κόσμος.


Διακρίνω εριστικό πνεύμα και ειρωνεία, δυστυχώς...Λοιπόν, για να μη μακρηγορούμε, υπάρχουν διάφοροι τρόποι να ορίσεις τους πραγματικούς αριθμούς, να δεχθείς τους φυσικούς και από κει να ορίσεις τους υπόλοιπους(αυτό που διδασκόμαστε στον Απειροστικό δηλαδή) ή να δεχθείς τους πραγματικούς και να ορίσεις έπειτα φυσικούς, ακεραίους και ρητούς. Ως προς τον 1ο τρόπο, οι πραγματικοί ορίζονται από τους ρητούς με τομές Dedekind(κοίταξε τις σημειώσεις του κ. Γιαννόπουλου ΑΠ Ι, σελ. 25).Τα αξιώματα είναι τα γνωστά αξιώματα που ξέρεις απ' τον Απειροστικό, ανάμεσά τους και η Πληρότητα, από την οποία εκπορεύεται και το ότι κάθε πραγματικός αριθμός είναι όριο κάποιας ακολουθίας(1)...Αν δεν απατώμαι, η Πληρότητα μπορεί να αποδειχθεί, αν δεχθείς ως αξίωμα το (1)..Αυτά γνωρίζω εγώ και αν θέλεις περισσότερες λεπτομέρειες, άνοιξε κάποιο βιβλίο Απειροστικού.

_________________
"I don't believe in empirical science. I only believe in a priori truth."
— Kurt Friedrich Gödel


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 118 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα 1, 2, 3, 4, 5 ... 8  Επόμενο

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group