forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 23 Σεπ 2017, 18:36

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 6 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Θέματα Σεπτεμβρίου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Σεπ 2015, 11:41 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 30 Αύγ 2013, 16:27
Δημοσ.: 92
Θέμα 1ο.
α) Να δείξετε ότι κάθε διεδρική ομάδα είναι επιλύσιμη.
β) Να εξετάσετε αν η ομάδα S_3 έχει υποομάδα δείκτη 3.
γ) Μια ομάδα G τάξης 27 δρα επί ενός συνόλου Χ με αριθμό στοιχείων |X|=135. Να δείξετε ότι αν x_1 , x_2 \in X, τότε ισχύει ότι: \{g\in G : g\cdot x_1 =x_1\} =\{ g\in G : g\cdot x_2 =x_2\}.

Θέμα 2ο.
α) Θεωρούμε πεπερασμένη μηδενοδύναμη ομάδα G, η οποία έχει την εξής ιδιότητα: αν p πρώτος αριθμός τότε p^3\nmid |G|. Να δείξετε ότι η G είναι αβελιανή ομάδα.
β) Θεωρούμε ομάδα G τάξης p^k. Να δείξετε ότι για κάθε i\in \{ 1,\dots ,k\}, υπάρχει ομάδα K\triangleleft G με |K|=p^k.
γ) Θεωρουμε πεπερασμένη μηδενοδύναμη ομάδα G και x,y\in G, τέτοια ώστε \left( o(x),o(y)\right)=1. Να δείξετε ότι xy=yx.

Θέμα 3ο.
α) Να αναφέρετε ένα παράδειγμα ελεύθερης, μη αβελιανης ομάδας.
β) Να αποδείξετε ότι κάθε ομάδα είναι πηλίκο ελεύθερης ομάδας.
γ) Να αναφέρετε ένα παράδειγμα άπειρης επιλύσιμης ομάδας, η οποία να μην είναι μηδενοδύναμη.

Θεμα 4ο.
α) Θεωρούμε ομάδα G τάξης 90. Να εξετάσετε αν η G είναι επιλύσιμη, μηδενοδύναμη.
β) Να δείξετε ότι κάθε ομάδα G τάξης 132 δεν είναι απλή.
γ) Να αποδείξετε ποιες είναι οι πλήρως αναλλοίωτες υποομάδες μιας κυκλικής ομάδας.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θέματα Σεπτεμβρίου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Σεπ 2015, 11:42 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 02 Οκτ 2012, 19:35
Δημοσ.: 693
Για το 3γ) έχει κάποιος απάντηση;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θέματα Σεπτεμβρίου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Σεπ 2015, 11:52 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 30 Αύγ 2013, 16:27
Δημοσ.: 92
Εγώ σκέφτηκα, με κάθε επιφύλαξη, την S_3\times \mathbb{Z}.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θέματα Σεπτεμβρίου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Σεπ 2015, 17:55 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 16 Ιούλ 2012, 17:35
Δημοσ.: 43
Σωστά, άλλη τέτοια είναι επίσης και η D_{\infty}.

*απάντηση στο spoiler*
Spoiler:
Έχουμε D_{\infty}=<\tau, \varepsilon>, όπου \varepsilon ανάκλαση, άρα \varepsilon^2=1 και \tau μεταφορά (κατά 1), άρα <\tau>\cong \mathbb{Z}. Ισχύει και εδώ \varepsilon \tau \varepsilon=\tau^{-1}.

Η σειρά 1\vartriangleleft <\tau> \vartriangleleft D_{\infty} είναι επιλύσιμη (ελέγξτε ότι <\tau> \vartriangleleft  D_{\infty}).

Έστω ότι η D_{\infty} είναι μηδενοδύναμη, τότε τα στοιχεία που έχουν πεπερασμένη τάξη είναι υποομάδα της D_{\infty}, η T_{D_{\infty}}=T. Ορίζουμε x=\varepsilon και y=\tau \varepsilon. Τότε, x^2=y^2=1, άρα x,y \in T, αλλά yx=\tau και o(\tau)=\infty, οπότε yx\notin T, άτοπο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θέματα Σεπτεμβρίου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Μάιος 2017, 13:33 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 17 Μαρ 2012, 16:18
Δημοσ.: 354
Τοποθεσια: Lvov
Το 1γ το έχει λύσει κάποιος; Υπάρχει περίπτωση να έχει λάθος η διατύπωση;


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θέματα Σεπτεμβρίου
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Ιουν 2017, 11:35 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 22 Ιουν 2016, 22:20
Δημοσ.: 20
Για το : Νομίζω πως λείπει απο την εκφώνηση ότι η ομαδα δρα μεταβατικά πάνω στο σύνολο (δηλαδή για καθε a,b \in 
 X υπάρχει g \in G με g*a=b). Επίσης όταν δόθηκε μια παρόμοια άσκηση στην τάξη , η υπόθεση της μεταβατικότητας υπήρχε.

Για την λύση: Καθώς η ομάδα δρα μεταβατικά έχουμε [x]_{G}=X(κλάση συζυγίας) για κάθε x \in X. Άρα |X|=[x]=|G:stab_{G}(x)| άρα |stab_{G}(x)|=5 για κάθε x \in X. Άρα η σταθεροποιούσα κάθε στοιχειου του X είναι Syl-5 υποομάδα.

Με την κλασσική μέθοδο βλέπουμε ότι μπορεί να υπάρχει μόνο μία τέτοια στην G.

*(Ισχύει γενικότερα και είναι ευκολο να δειχθεί οτι αμα η δράση ειναι μεταβατική τοτε η σταθεροποιούσες στοιχείων είναι συζυγείς. Πράγματι αν g*a=b τότε για όλα τα z : z*a=a έχουμε gzg^{-1}*b=b )


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 6 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group