forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 21 Νοέμ 2017, 04:23

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 50 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2, 3, 4
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Επαναληπτικές ασκήσεις
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 06 Μαρ 2015, 06:30 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 14 Ιουν 2008, 20:31
Δημοσ.: 45
Ευάγγελος Ράπτης έγραψε:
Επαναληπτική άσκηση 19:(Θέμα 1 από 3 , Εξετάσεις 29 Ιανουαρίου 2015)

Δίνεται το πολυώνυμο x^2-1 \in \mathbb{Z}_3[x].

(1) Θεωρήστε τον δακτύλιο R=\frac{\mathbb{Z}_3[x]}{(x^2-1)\mathbb{Z}_3[x]} . Πόσα στοιχεία a \in R υπάρχουν με την ιδιότητα a^{\nu}=0_R για κάποιο φυσικό \nu;
Σημείωση:Με (x^2-1)\mathbb{Z}_3[x]συμβολίζουμε το κύριο ιδεώδες που παράγεται από το x^2 -1
(2) Είναι ο δακτύλιος R ακεραία περιοχή;
(3) Να βρεθεί το πλήθος των αντιστρεψίμων στοιχείων του δακτυλίου R.
(4)Είναι η ομάδα των μονάδων U(R) κυκλική;
(5) Υπάρχει a \in \mathbb{Z}_3 ώστε ο δακτύλιος \frac{\mathbb{Z}_3[x]}{(x^2-a x+1)\mathbb{Z}_3[x]} να είναι ακεραία περιοχή;


================================================================
Πρόθεση είναι να γραφούν πλήρεις και εξαντλητικές απαντήσεις ώστε με πρόσχημα τις απαντήσεις να αναλυθούν σε βάθος οι διδασκόμενες έννοιες. Η πρόθεση αυτή όμως δρά ανασταλτικά στους φοιτητές να προτείνουν τις δικές τους απαντήσεις. Για τον λόγο αυτό, που πιστεύω ότι είναι βάσιμος, οι απαντήσεις θα αναρτώνται με αργό ρυθμό.
==================================================================
==================================================================
Σχόλια πριν τις απαντήσεις στα ερωτήματα: Κατ αρχήν θα προσπαθήσουμε να βρούμε αν ο δακτύλιος R=\frac{\mathbb{Z}_3[x]}{(x^2-1)\mathbb{Z}_3[x]} είναι ισόμορφος με κάποιον πιο γνωστο δακτύλιο, γιατί ο ισομορφισμός θα γίνει οδηγός για τις αποδείξεις. Στην περίπτωσή μας θα αποδείξουμε ότι
R=\frac{\mathbb{Z}_3[x]}{(x^2-1)\mathbb{Z}_3[x]} \simeq \mathbb{Z}_3 \oplus \mathbb{Z}_3.


Καλημέρα! Θα ήθελα να ρωτήσω στο ερώτημα 5 μπορούμε να πούμε ότι για α=0 ο δακτύλιος πηλίκο είναι ακέραια περιοχή????
Το πολυώνυμο που μένει ανήκει στο {Z}_3[x] , δεν έχει ρίζες στο {Z}_3 , είναι 2ου βαθμού άρα από πρόταση 2.4.5 του βιβλίου το πολυώνυμο είναι ανάγωγο. Οπότε από θεώρημα 2.6.3 (βιβλίο σελ.156) ο δακτύλιος πηλίκο είναι σώμα, άρα είναι και ακέραια περιοχή.

Επίσης στο ερώτημα 2 ο R δεν είναι ακέραια περιοχή έτσι? Ποια είναι η σωστή διατύπωση γι'αυτό?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Επαναληπτικές ασκήσεις
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Σεπ 2015, 10:42 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 12 Μαρ 2006, 22:43
Δημοσ.: 3627
Τοποθεσια: Αθήνα
Επαναληπτική άσκηση 20:(Θέμα 1 από 3 , Εξετάσεις 7 Σεπτεμβρίου 2015)

(1) Έστω G μία ομάδα και \alpha \in G. Δείξτε ότι για κάθε g \in G η τάξη του στοιχείου g^{-1} \alpha g ισούται με την τάξη του στοιχείου \alpha. ( o ( g^{-1} \alpha g ) =o (\alpha ) ).

(2) Έστω οι μεταθέσεις \pi , \sigma \in S_6 με \pi =(123)(356) και \sigma =(13). Αν \tau=\sigma \pi \sigma , να βρεθεί ο μικρότερος ακέραιος -9 \leq m και ο μεγαλύτερος ακέραιος n \leq 14 έτσι ώστε \tau^{m} =\tau^{n} =\tau^2 .

_________________
Ευάγγελος Ράπτης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Επαναληπτικές ασκήσεις
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Σεπ 2015, 11:11 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 12 Μαρ 2006, 22:43
Δημοσ.: 3627
Τοποθεσια: Αθήνα
Επαναληπτική άσκηση 21:(Θέμα 2 από 3 , Εξετάσεις 7 Σεπτεμβρίου 2015)

Έστω \mathbb{Q}[x] ο δακτύλιος των πολυωνύμων μιας μεταβλητής επί του σώματος των ρητών , f(x) , g(x) \in \mathbb{Q}[x] και I = \{ \lambda (x) \cdot f(x) +\mu (x) \cdot g(x) \mid \lambda (x) , \mu (x) \in \mathbb{Q}[x] \}.

(1) Δείξτε ότι το Ι είναι ιδεώδες του δακτυλίου \mathbb{Q}[x]

(2) Δείξτε ότι αν το Ι είναι μη μηδενικό ιδεώδες, υπάρχει μοναδικό μονικό πολυώνυμο \delta (x) \in \mathbb{Q}[x] έτσι ώστε I=\{ \delta (x) \cdot \kappa (x) \mid \kappa (x)  \in \mathbb{Q}[x] \}.

(3) Να εξετασθεί σε ποιες περιπτώσεις το πολυώνυμο \delta (x) του προηγουμένου ερωτήματος είναι ανάγωγο.

_________________
Ευάγγελος Ράπτης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Επαναληπτικές ασκήσεις
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Σεπ 2015, 11:26 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 12 Μαρ 2006, 22:43
Δημοσ.: 3627
Τοποθεσια: Αθήνα
Επαναληπτική άσκηση 22:(Θέμα 3 από 3 , Εξετάσεις 7 Σεπτεμβρίου 2015)

(1) Να βρεθούν όλοι οι επιμορφισμοί δακτυλίων \theta : \mathbb{R}[x] \longrightarrow \mathbb{R} , όπου \mathbb{R} είναι το σώμα των πραγματικών αριθμών.

(2) Να βρεθούν όλοι οι ομομορφισμοί ομάδων \phi : S_3 \longrightarrow C_6 , όπου S_3 είναι η ομάδα μεταθέσεων σε τρία σύμβολα και C_6 είναι η κυκλική ομάδα τάξης 6.

(3) Έστω C_{100} =<\alpha > η κυκλική ομάδα τάξης 100. Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι \kappa με 88 \leq \kappa \leq 122 και C_{100} =< \alpha^{\kappa} >.

_________________
Ευάγγελος Ράπτης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Επαναληπτικές ασκήσεις
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 04 Σεπ 2017, 18:24 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 12 Μαρ 2006, 22:43
Δημοσ.: 3627
Τοποθεσια: Αθήνα
Επαναληπτική άσκηση 23:(Θέμα 1 από 1 , Εξετάσεις 4 Σεπτεμβρίου 2017)

Πρόβλημα 1 (30 μονάδες) Να υπολογισθεί:

(α) Το πλήθος των στοιχείων x \in \mathbb{Z}_{30} για τα οποία ισχύει x^9 =1 στο \mathbb{Z}_{30}

(β) Το πλήθος των ζευγών (x,y) στοιχείων του \mathbb{Z}_{180} για τα οποία ισχύει x^2 y=1 στο \mathbb{Z}_{180}

(γ) Το πλήθος των ιδεωδών του δακτυλίου \mathbb{Z}_{60}

_________________
Ευάγγελος Ράπτης


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 50 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2, 3, 4

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group