forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 21 Οκτ 2018, 21:05

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Θέματα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Απρ 2014, 14:55 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 17 Μαρ 2012, 16:18
Δημοσ.: 375
Τοποθεσια: Lvov
Θα γράψω εδώ ότι θυμάμαι από τα θέματα μαζί με τις λύσεις για όσα δεν χρειάζονται πολλά λόγια.

Θέμα 1, (3 μονάδες)
Spoiler:
Να εξηγήσετε ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές ή λάθος:
  • Αν f:\mathbb{Z}^2\to\mathbb{Z}^3 μια προσθετική απεικόνιση τότε ο \mathbb{Z}^3/imf είναι άπειρης τάξης.
  • Υπάρχουν 8 αβελιανές ομάδες μη ισόμορφες ανά δύο τάξης 144.
  • Αν Α μια αβελιανή ομάδα τάξης |A|=420 και Β μια αβελιανή ομάδα τάξης |B|=60 τότε η Β είναι ισόμορφη με υποομάδα της Α.


Θέμα 2, (2 μονάδες)
Spoiler:
Αν Α είναι μια αβελιανή ομάδα τάξης n για την οποία ισχύει ότι για κάθε πρώτο διαιρέτη p του n υπάρχει μοναδική υποομάδα Β της Α ώστε |B|=p τότε να δείξετε ότι η Α είναι κυκλική.


Θέμα 3, (3 μονάδες)
Spoiler:
Δινόταν ένας πίνακας A 4x4 με στοιχεία από το \mathbb{Q} του οποίου όλα τα a_{ij} ήταν αριθμοί από το \mathbb{Z} και ζητούνταν να υπολογιστεί μια κανονική μορφή Smith του πίνακα (A-I_4x)


Θέμα 4, (2 μονάδες)
Spoiler:
Να υπολογιστεί το πλήθος των κλάσεων ομοιότητας τον πινάκων διάστασης 6x6 με στοιχεία από το σώμα \mathbb{Z}_2.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θέματα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Απρ 2014, 15:29 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 17 Μαρ 2012, 16:18
Δημοσ.: 375
Τοποθεσια: Lvov
Καταρχάς για το 4ο θέμα, ανάλογα με το παράδειγμα 5.1.1 στη σελίδα 64 στις σημειώσεις του Άμπαλου, το ζητούμενο πλήθος με έναν γρήγορο υπολογισμό είναι 2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^2+2^4+2^3+2^6

(Δεν έκανα τις πράξεις τώρα οπότε μπορεί να έχει λάθος ο τρόπος που σκέφτομαι τα πολυώνυμα, δηλαδή το νούμερο δεν είναι σίγουρο).

Το 3ο θέμα έχω την αίσθηση ότι λύνεται με κάποιο τρόπο μέσω της κανονικής μορφής Jordan αλλά δε βρήκα και κανέναν που να το έκανε έτσι, εγώ όπως και η πλειοψηφία πήγαμε και υπολογίσαμε την κανονική μορφή Smith αυτού του πίνακα, ο οποίος είναι κτήνος και χρειαζόταν περίπου 3/4 της ώρας.

Το δεύτερο θέμα πρέπει να καθαρογραφεί για να γίνει κατανοητό, κάπως συνοπτικά μια λύση είναι: Το n παραγοντοποιείται σε γινόμενα πρώτων ως εξής
n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_n^{a_n}
Aπό το 2ο θεώρημα δομής, η Α γράφεται σαν άθροισμα κυκλικών ομάδων της μορφής \mathbb{Z}_{p_i}^{b_i}. Το επιχείρημα που χρησιμοποίησα και μπορεί να έχει λάθος είναι το εξής απλό: αν στη γραφή της Α κατά αυτό τον τρόπο όλοι οι πρώτοι που εμφανίζονται είναι διακεκριμένοι τότε η Α είναι ισόμορφη με κυκλική άρα εντάξει. Αν τώρα κάποιος πρώτος εμφανίζεται περισσότερες φορές θα υπάρχει στο άθροισμα το εξής:

\mathbb{Z}_{p_i}^{b_1}\oplus\mathbb{Z}_{p_i}^{b_2} όπου b_1+b_2\leq a_i. Σε αυτή την περίπτωση όμως οδηγούμαστε σε άτοπο γιατί η \mathbb{Z_{p_i}^{b_1}} έχει σαν υποομάδα την \mathbb{Z_{p_i}} και η \mathbb{Z}_{p_i}^{b_2} έχει επίσης σαν υποομάδα της την ίδια, άρα αν θεωρήσω τις H_1=0\oplus\cdots\oplus\mathbb{Z}_{p_i}\oplus\cdots\oplus 0 και H_2=0\oplus\cdots\oplus\mathbb{Z}_{p_i}\oplus\cdots\oplus 0 (στη δεύτερη το \mathbb{Z}_{p_i} είναι μια θέση δεξιότερα απ' ότι στην H_1) τότε έχουν τάξη p^i και οι δύο και είναι άτοπο.

Στο πρώτο θέμα, το πρώτο είναι σωστό αλλά δεν έχω κάποιο καλό επιχείρημα, πάντως το imf, ως υποπρότυπο ελεύθερου προτύπου, θα είναι ισόμορφο με κάποιο από τα \mathbb{Z} ή \mathbb{Z}^2 ή \mathbb{Z}^3 και η τρίτη περίπτωση απορρίπτεται γιατί η f δε γίνεται να είναι επί, αλλά το τελευταίο δε θυμάμαι τώρα πως δείχνεται. Το δεύτερο είναι λάθος: από το 2ο θ. δομής η ομάδα τάξης 144 είναι ισόμορφη με 12 ευθέα αθροίσμα και όχι 8. Τέλος το τρίτο είναι λάθος: εγώ κατασκεύασα το εξής αντιπαράδειγμα: η ομάδα τάξης 420 αναλύεται σε δυνάμεις πρώτων ως 2^2\cdot3\cdot 5\cdot 7 άρα μια ομάδα τάξης 420 είναι ισόμορφη με μία από τις εξής δύο:

\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_3\oplus\mathbb{Z}_5\oplus\mathbb{Z}_7 ή \mathbb{Z}_4\oplus\mathbb{Z}_3\oplus\mathbb{Z}_5\oplus\mathbb{Z}_7. Ανάλογα η Β είναι μία από τις
\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_3\oplus\mathbb{Z}_5 ή \mathbb{Z}_4\oplus\mathbb{Z}_3\oplus\mathbb{Z}_5 και θεωρώντας την Α να είναι η A=\mathbb{Z}_4\oplus\mathbb{Z}_3\oplus\mathbb{Z}_5\oplus\mathbb{Z}_7 και τη B=\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_3\oplus\mathbb{Z}_5 τότε η Β δε γίνεται να είναι ισόμορφη με υποομάδα της Α αφού η Α είναι κυκλική και άρα οι υποομάδες της είναι κυκλικές ενώ η Β δεν είναι κυκλική.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θέματα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 07 Απρ 2014, 15:32 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 17 Μαρ 2012, 16:18
Δημοσ.: 375
Τοποθεσια: Lvov
Αυτές ήταν οι δικές μου απαντήσεις και μπορεί να περιέχουν λάθη, οπότε τις διαβάζετε με δική σας ευθύνη.

Η εξέταση δεν ήταν ιδιαίτερα δύσκολη αλλά χρειαζόταν περισσότερο από τις 2.5 ώρες που διατέθηκαν. Οι περισσότεροι φύγαμε στις 2.5 ώρες χωρίς να έχουμε ασχοληθεί αρκετά με όσα δε λύσαμε και χωρίς να έχουμε ελέγξει τα γραπτά μας.

Ξαναλέω ότι τα παραπάνω είναι η δικιά μου εκτίμηση.

Καλά αποτελέσματα! :D


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θέματα
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Απρ 2014, 15:26 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφή: 15 Σεπ 2013, 19:41
Δημοσ.: 99
Ευχαριστούμε πολύ Goodluckthere! I wish you good luck...there!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 4 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group