forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 16 Δεκ 2018, 02:43

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 11 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Θέματα εαρινού 2012-2013..
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 11 Ιουν 2013, 20:02 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 23 Οκτ 2008, 10:13
Δημοσ.: 143
Θέμα 1ο.

Εξετάστε ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές. Αιτιολογίστε πλήρως την απάντησή σας.
(i)Η S_{10} έχει υποομάδα δείκτου 4.
(ii)Αν η G είναι ομάδα τάξεως 63, τότε τα πηλίκα μιας συνθετικής σειράς έχουν τάξη πρώτο αριθμό.
(iii)Δύο ομάδες τάξεως 6 είναι ισόμορφες.

Θέμα 2ο.

(i)Έστω G πεπερασμένη ομάδα τάξεως p^n, όπου p πρώτος και H\not=1 κανονική υποομάδα της G. Δείξτε ότι H \cap Z(G) \not=1.
(ii)Ταξινομίστε, ως προς τον ισομορφισμό, όλες τις ομάδες τάξεως 1127=7^2 . 23.

Θέμα 3ο.

(i)Έστω G μηδενοδύναμη πεπερασμένη ομάδα και \alpha , \beta \in G. Αν (o(\alpha) , o(\beta)) = 1, τότε \alpha . \beta = \beta . \alpha.
(ii)Να εξετάσετε αν οι S_4 , S_5 είναι επιλύσιμες, μηδενοδύναμες ομάδες.

Θέμα 4ο.

(i)Αποδείξτε ότι υποομάδα επιλύσιμης ομάδας είναι επιλύσιμη και ότι επιλέπτυνση επιλύσιμης σειράς είναι επιλύσιμη.
(ii)Αν η G είναι απλή ομάδα τάξεως 2^3 . 7^2 και η H υποομάδα της G, τότε [G:H] \geq 14.
(iii)Να εξετασθεί αν μια ομάδα τάξεως 2^3 . 7^2 είναι επιλύσιμη.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θέματα εαρινού 2012-2013..
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Ιαν 2014, 17:38 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 29 Φεβ 2008, 21:19
Δημοσ.: 104
Μια πρώτη βιαστική προσπάθεια.
1. i. Αν υπάρχει τέτοιο υποομάδα H τότε μπορούμε να ορίσουμε ομομορφισμό από την S10 στην S4. Ο πυρήνας είναι υποομάδα της Η και κανομική υποομάδα της S10. Οπότε είναι ή τετριμμένος πυρήνας ή ίσος με την Α10. Αν είναι τετριμμένος έχουμε εμφύτευση στην S4, οπότε έχουμε άτοπο γιατί το 10! δεν διαιρεί το 4!. Αν είναι ίσος με Α10 τότε |G/A10|=5 ενώ [G:H]=4 Α10 κανονική στην Η μιας και περιέχεται σε αυτήν και είναι κανονική στην S10. Οπότε έχουμε |Η/Α10|=[G:H]/|G:Q10|=5/4 άτοπο.

_________________
God, grant me the serenity to accept the things that I cannot change,
courage to change the things I can, and wisdom to know the difference.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θέματα εαρινού 2012-2013..
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Ιαν 2014, 19:40 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 17 Μαρ 2012, 16:18
Δημοσ.: 376
Τοποθεσια: Lvov
Επειδή αύριο γράφω δεν έχω χρόνο να γράψω όσα έχω λύσει, αν έχει κάποιος τα δύο 4i και 4ii θα ήμουν υπόχρεος.

1ii. 63=3^2\cdot 7 άρα n_7=1 ή 3 ή 9. Aφού n_7\equiv 1\mod 7 θα πρέπει n_7-1 άρα η Q sylow 7-υποομάδα είναι μοναδική και κανονική. Η Q είναι επιλύσιμη ως p-ομάδα και η \frac{G}{Q} έχει τάξη 4 άρα είναι επιλύσιμη ως p ομάδα, άρα και η G είναι επιλύσιμη. Αφού κάθε πηλίκο είναι αβελιανή, απλή ομάδα θα έχει για τάξη έναν πρώτο αριθμό.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θέματα εαρινού 2012-2013..
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Ιαν 2014, 19:44 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 17 Μαρ 2012, 16:18
Δημοσ.: 376
Τοποθεσια: Lvov
(Όσα γράφω μπορεί να έχουν λάθη, όποιος ξέρει ας με διορθώσει)

1iii. Λάθος, |S_3|=6=|\mathbb{Z}_6| αλλά αυτές δεν είναι ισόμορφες (η S_6 δεν είναι αβελιανή)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θέματα εαρινού 2012-2013..
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Ιαν 2014, 19:49 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 17 Μαρ 2012, 16:18
Δημοσ.: 376
Τοποθεσια: Lvov
2i. Θεωρώ τη δράση της G στην H με συζυγία (η δράση είναι καλά ορισμένη αφού η H είναι κανονική). Θα έχω ότι
|H|=\sum|Cl_G(h)| όπου τα h έχουν επιλεγεί από ξένες τροχιές. Έχω ότι Cl_G(1)=\{1\} δηλαδή μονοσύνολο και p||H| ενώ αφού η G είναι p-ομάδα, αν μια τροχιά δεν είναι μονοσύνολο, το p θα διαιρεί το μήκος της, άρα θα υπάρχουν τουλάχιστον άλλες p-1 τροχιές που είναι μονοσύνολα, έστω Cl_G\{h\}=\{h\}\Leftrightarrow ghg^{-1}=h για κάθε g, δηλαδή h\not=1 και h\in Z(G)\cap H


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θέματα εαρινού 2012-2013..
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Ιαν 2014, 20:33 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 17 Μαρ 2012, 16:18
Δημοσ.: 376
Τοποθεσια: Lvov
Δεν ξέρω τι ακριβώς παίζει με το 4ii, αφού υπάρχουν παιδιά που απέδειξαν αυτό που ζητάει, αλλά σε αυτή την εργασία αποδεικνύει ότι δεν υπάρχει απλή ομάδα τάξης 392=2^3\cdot 7^2, δεν έχω χρόνο να κοιτάξω όλη την εργασία αλλά η λύση που δίνουν είναι σωστή και εμείς στην άσκηση θεωρούμε την G απλή ομάδα τάξης 392.

Εδώ είναι το απόκομμα:

Show that a group of order 392 cannot be simple, and that it must have an
abelian normal subgroup.
Let G be a group of order 392. Since 392 = 8 · 49, G has a Sylow 7–subgroup
H of order 49 and index (G : H) = 8. But 49 does not divide 8!, so G cannot be
normal, by (b). In fact, ker ψ is normal subgroup contained in H, and since every
group of order 72
is abelian, ker ψ is also abelian.

υποθέτω ότι στην 5η γραμμή έχει γίνει τυπογραφικό και εννοεί "G cannot be simple", κατά τα άλλα φαίνεται σωστό (σε μένα).


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θέματα εαρινού 2012-2013..
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Ιαν 2014, 21:47 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 29 Φεβ 2008, 21:19
Δημοσ.: 104
Ρε γμτ άμα δεις τη λύση λες "ααα αυτό κάνει!" αλλά όταν πάω να τα βγάλω μόνος μου νομίζω ότι το καίω.
Το 4i είναι στις σημειώσεις του Άμπαλου (να'ναι καλά!).
Έστω $[G:H]=n$ τότε υπάρχει ομομορφισμός ${{\rho }_{H}}:G\to {{S}_{[G:H]}}$ με $\ker {{\rho }_{H}}\triangleleft G$.
Η G απλή οπότε $\ker {{\rho }_{H}}=1$, δηλαδή ${{\rho }_{H}}:G\to {{S}_{[G:H]}}$ εμφύτευση (1-1), οπότε $\left. |G| \right||{{S}_{[G:H]}}|$$\Rightarrow \left. {{2}^{3}}{{7}^{2}} \right|[G:H]!$$\Rightarrow [G:H]!=14!$ τουλάχιστον άρα $[G:H]\ge 14$

_________________
God, grant me the serenity to accept the things that I cannot change,
courage to change the things I can, and wisdom to know the difference.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θέματα εαρινού 2012-2013..
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 12 Ιαν 2014, 23:40 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 03 Οκτ 2010, 10:28
Δημοσ.: 25
Τοποθεσια: Ελευσίνα
Προς goodluckther:

Νομίζω πως έχει ένα λάθος η απόδειξη, διότι αν η G είναι απλη πεπερασμένη τότε η |G| | [G:H]! για κάθε H γνήσια υποομάδα της G.
αυτός πήρε το |H| και είπε ότι δε διαρεί το [G:H]!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θέματα εαρινού 2012-2013..
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Ιαν 2014, 09:42 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 17 Μαρ 2012, 16:18
Δημοσ.: 376
Τοποθεσια: Lvov
Για το 4i, έχω δει τη λύση των καθηγητών, αυτή που γράφω είναι απλούστερη αν και δεν υπάρχει ιδιαίτερη διαφορά. Για την υβόννη, αυτό που λες είναι σωστό, αλλά και πάλι 392\nmid 8!


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θέματα εαρινού 2012-2013..
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 13 Ιαν 2014, 09:57 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 17 Μαρ 2012, 16:18
Δημοσ.: 376
Τοποθεσια: Lvov
2ii.\, 1127=7^2\cdot 23.
  • Η G έχει Sylow 7-υποομάδα P τάξης 7^2 και έστω n_7 το πλήθος των Sylow 7-υποομάδων.
    Τότε n_7\mid 23\Leftrightarrow n_7=1 ή n_7=23. Θα πρέπει n_7\equiv 1\mod 7 άρα το 23 απορρίπτεται και n_7=1, δηλαδή η Sylow 7-υποομάδα είναι κανονική και μοναδική.
  • Η G έχει Sylow 23-υποομάδα Q τάξης 23 και έστω n_{23} το πλήθος των Sylow 23-υποομάδων της. Τότε
    n_{23}\mid 7^2 άρα n_{23}=1,7 η 49. Αφού πρέπει n_{23}\equiv 1\mod 23 παίρνω n_{23}=1, δηλαδή και η Sylow 23-υποομάδα είναι κανονική και μονάδικη.
Άρα όλες οι Sylow υποομάδες της G είναι κανονικές, άρα η G είναι το ευθύ άθροισμα των Sylow υποομάδων της. Επιπλέον η P είναι αβελίανη γιατί η τάξη της είναι τετράγωνο πρώτου και η Q είναι αβελιανή γιατί η τάξη της είναι πρώτος. Άρα η G είναι αβελιανή ως ευθύ άθροισμα αβελιανών.
Τέλος η P είναι πεπερασμένη και αβελιανή, άρα είναι ισόμορφη με ένα ευθύ άθροισμα κυκλικών ομάδων που έχουν τάξη μια δύναμη πρώτου, άρα P\simeq \mathbb{Z}_7\times \mathbb{Z}_7 ή P\simeq \mathbb{Z}_{7^2} και Q\simeq \mathbb{Z}_{23} άρα
G\simeq \mathbb{Z}_7\times \mathbb{Z}_7\times \mathbb{Z}_{23} ή G\simeq \mathbb{Z}_{7^2}\times  \mathbb{Z}_{23}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Θέματα εαρινού 2012-2013..
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 28 Μάιος 2018, 14:51 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 29 Σεπ 2016, 17:15
Δημοσ.: 24
Για το θέμα 4(ii) : Αν G απλή ομάδα τάξεως 2^3 7^2 και Η υποομάδα της G τότε [G:H]>= 14

Εδώ εννοεί γνήσια υποομάδα ; Γιατί αν πάρω H=G τότε δεν ισχύει το ζητούμενο.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 11 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group