forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 15 Οκτ 2018, 14:41

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 14 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Μοναδιαίοι Πίνακες - Εσωτερικό Γινόμενο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Ιαν 2014, 18:08 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 23 Φεβ 2011, 11:45
Δημοσ.: 247
Στην παρατήρηση στο Μάθημα 28 λέει το εξής:

Παράθεση:
Παρατήρηση:

Αν A,B\in\mathbb{C}^{\nu\times\nu} τότε A\cdot B=I_\nu

\Leftrightarrow

< A^t_i,\overline{B^{(j)}}> = \left\{\begin{matrix}
1 & i=j\\ 
0 & i\neq j
\end{matrix}\right.


Τι ακριβώς συμβολίζει το A^t_i ;;
Συμβολίζει την i-γραμμή του A ή του A^t ;;

Με προβληματίζει γιατί όταν το χρησιμοποιεί στην απόδειξη του Θεωρήματος βγαίνει το ζητούμενο.

Πάντως στο βιβλίο που το είδα το έχει:
Παράθεση:
Αν A,B\in\mathbb{C}^{\nu\times\nu} τότε A\cdot B=I_\nu

\Leftrightarrow

< A_i,\overline{B^{(j)}}>= \delta_{ij} = \left\{\begin{matrix}
1 & i=j\\ 
0 & i\neq j
\end{matrix}\right.


και επίσης πως προκύπτει αυτό;
Παράθεση:
<\overline{A^{(i)},A^{(j)}}> =<{A^{(i)},A^{(j)}>


Τελευταία επεξεργασία απο Bodom την 20 Ιαν 2014, 21:14, επεξεργάστηκε 2 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Μοναδιαίοι Πίνακες - Εσωτερικό Γινόμενο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Ιαν 2014, 19:35 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator

Εγγραφη: 19 Ιαν 2014, 22:08
Δημοσ.: 268
Τοποθεσια: Νίκαια
Έχω την αίσθηση ότι αυτό που γράψατε στο μάθημα είναι το σωστό... Εννοεί ακριβώς την i-οστή γραμμή του αντίστροφου, που είναι απλά ένας περίπλοκος τρόπος να πεις "την i-οστή στήλη του Α". Ουσιαστικά όλο προκύπτει από τον ορισμό του πολλά πλασιασμού πινάκων, αφού το γινόμενο της i στηλης του πρωτου και j γραμμης του δευτερου δίνει το στοιχείο i,j του γινομένου, και το υπόλοιπο προκύπτει από το πως είναι διατεταγμένα τα στοιχεία στον ταυτοτικό. Για το δεύτερο δεν είμαι σίγουρος για το συμβολισμό, άρα δε μπορώ να σου απαντήσω :P

_________________
\int_{M} \mathrm{d}\omega =\int_{\partial M} \omega


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Μοναδιαίοι Πίνακες - Εσωτερικό Γινόμενο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Ιαν 2014, 20:08 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 23 Φεβ 2011, 11:45
Δημοσ.: 247
Να'σαι καλά captainjp ! Και γω αυτήν την αίσθηση έχω!
:) thanx


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Μοναδιαίοι Πίνακες - Εσωτερικό Γινόμενο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Ιαν 2014, 20:10 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator

Εγγραφη: 19 Ιαν 2014, 22:08
Δημοσ.: 268
Τοποθεσια: Νίκαια
Τίποτα! :)

_________________
\int_{M} \mathrm{d}\omega =\int_{\partial M} \omega


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Μοναδιαίοι Πίνακες - Εσωτερικό Γινόμενο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Ιαν 2014, 21:13 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 23 Φεβ 2011, 11:45
Δημοσ.: 247
Άλλαξα γνώμη!! Στην απόδειξη του Θεωρήματος υπάρχει σίγουρα λάθος!!

Παράθεση:
Θεώρημα:
Έστω A\in\mathbb{C}^{\nu\times\nu}. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:
(α) ο Α είναι μοναδιαίος
(β) οι στήλες του Α είναι ορθοκανονική βάση του \mathbb{C}^{\nu\times\\1
(γ) οι γραμμές του Α είναι ορθοκανονική βάση του \mathbb{C}^{\nu}


Απόδειξη (α) \Rightarrow (β)

A μοναδιαίος \Leftrightarrow A^*A=I_\nu


\overset{\pi \alpha \varrho \alpha \tau \eta \varrho \eta \sigma \eta }{\rightarrow}

<(A^*)^t_i,\overline{A^{(j)}}>=\left\{\begin{matrix}
1 & i=j\\ 
0 & i\neq j
\end{matrix}\right.

\Leftrightarrow κάνοντας τις "πράξεις" το αστεράκι * με το t προκύπτει:

<\overline{A}_i,\overline{A^{(j)}}>=\left\{\begin{matrix}
1 & i=j\\ 
0 & i\neq j
\end{matrix}\right.

Παράθεση:
και όχι αυτό που έχουμε βρει στην τάξη που είναι:
<\overline{A^{(i)}},\overline{A^{(j)}}>=\left\{\begin{matrix}
1 & i=j\\ 
0 & i\neq j
\end{matrix}\right.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Μοναδιαίοι Πίνακες - Εσωτερικό Γινόμενο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Ιαν 2014, 21:25 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator

Εγγραφη: 19 Ιαν 2014, 22:08
Δημοσ.: 268
Τοποθεσια: Νίκαια
Τι συμβολίζεις ως B^{(j)}? Δεν ξέρω πως ακριβώς πάνε οι συμβολισμοί αλλά πάντως το νόημα της όλης πρότασης είναι ότι η i-οστη στήλη του Α επί την j-οστη γραμμή του Β κάνει 1 αν i=j και 0 αλλιώς... όποιο από τα δύο αποτελέσματα που λες σημαίξνει αυτό, είναι το σωστό :)

_________________
\int_{M} \mathrm{d}\omega =\int_{\partial M} \omega


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Μοναδιαίοι Πίνακες - Εσωτερικό Γινόμενο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Ιαν 2014, 21:32 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 23 Φεβ 2011, 11:45
Δημοσ.: 247
Δεν μπορούμε να κάνουμε και κανένα tag σε κανέναν καθηγητή να ρίξει καμια ματιά!!!

Το B^{(j)} είναι η j-οστή στήλη.
Έχω καταλάβει οτι αυτό που θέλει να πει είναι οτι κάθε γραμμή και κάθε στήλη ενός μοναδιαίου πίνακα έχει μέτρο 1.

Αυτό που δεν καταλαβαίνω είναι οι πράξεις που κάνει.
Αν δεχτούμε σωστή την παρατήρηση, τότε η απόδειξη του Θεωρήματος είναι λάθος, αφου προκύπτει εσωτερικό γινόμενο γραμμής με στήλης.
Ή και οι 2 στήλες θα πρέπει να είναι ή και οι 2 γραμμές, όχι γραμμή με στήλη.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Μοναδιαίοι Πίνακες - Εσωτερικό Γινόμενο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Ιαν 2014, 21:37 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator

Εγγραφη: 19 Ιαν 2014, 22:08
Δημοσ.: 268
Τοποθεσια: Νίκαια
Τότε μάλλον είναι σωστό το βιβλίο, διότι πολλαπλασιάζει γραμμη του Α με στηλη του Β (μπορει κανονικα να ειναι αναποδα αλλα με μια αναστροφη βγαινει το ιδιο). Το εσωτερικό γινόμενο πρέπει να βγαίνει γραμμή με στήλη :P

_________________
\int_{M} \mathrm{d}\omega =\int_{\partial M} \omega


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Μοναδιαίοι Πίνακες - Εσωτερικό Γινόμενο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Ιαν 2014, 21:51 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 23 Φεβ 2011, 11:45
Δημοσ.: 247
captainjp έγραψε:
Τότε μάλλον είναι σωστό το βιβλίο, διότι πολλαπλασιάζει γραμμη του Α με στηλη του Β (μπορει κανονικα να ειναι αναποδα αλλα με μια αναστροφη βγαινει το ιδιο). Το εσωτερικό γινόμενο πρέπει να βγαίνει γραμμή με στήλη :P


Μέσα στο εσωτερικό γινόμενο πρέπει να είναι και τα δύο ίδιου ίδους. Ή να ειναι και τα 2 γραμμές ή και τα 2 στήλες. Συγκεκριμένα:

Αν X.Y\in\mathbb{C}^{\nu\times 1} τότε:

<X,Y>=x_1\overline{y_1}+...+x_\nu\overline{y_\nu}=\begin{pmatrix}
 x_1 & ... & x_\nu
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\overline{y_1}\\\vdots  
\\ \overline{y_\nu}

\end{pmatrix}=X^t\cdot \overline{Y}


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Μοναδιαίοι Πίνακες - Εσωτερικό Γινόμενο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Ιαν 2014, 21:55 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator

Εγγραφη: 19 Ιαν 2014, 22:08
Δημοσ.: 268
Τοποθεσια: Νίκαια
Ναι, για αυτό και χρησιμοποιούμε την αναστροφή για να τα "βολέψουμε" :P

_________________
\int_{M} \mathrm{d}\omega =\int_{\partial M} \omega


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Μοναδιαίοι Πίνακες - Εσωτερικό Γινόμενο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Ιαν 2014, 22:00 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 23 Φεβ 2011, 11:45
Δημοσ.: 247
Όχι, μα και το βιβλίο τότε λάθος το έχει!
Σελίδα 152 στο δικό μου βιβλίο, γιατι το καινούριο βιβλίο έχει πιο πολλά οπότε μάλλον είναι σε άλλη σελίδα.

Συγκεκριμένα το βιβλίο γράφει:

<A_i,\overline{B^{(j)}}>

Γίνεται να πολλαπλασιάσεις εσωτερικά γραμμή με στήλη;

Δεν ξέρω...
Ένα ξέρω, θέλω να τα διαλύσω όλα :pissed: χαχα


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Μοναδιαίοι Πίνακες - Εσωτερικό Γινόμενο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Ιαν 2014, 22:08 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator

Εγγραφη: 19 Ιαν 2014, 22:08
Δημοσ.: 268
Τοποθεσια: Νίκαια
Λοιπόν μετά από ώριμη σκέψη βρήκα την απάντηση πιστεύω! το A_i^t σημαίνει την i-οστή γραμμη του i η οποία μετά αναστρέφεται ώστε να μπορεί να μπει στο εσωτερικό γινόμενο. Αυτό σου δίνει και πραγματικο γινομενο γραμμης Α με στηλη Β που ειναι και επακριβως ο ορισμος του πολλαπλασιασμου. Ουσιαστικα λοιπον η αναστροφη ειναι μια τυπικοτητα, που απλα την κανατε στο μαθημα για να υπακουει και τυπικα στον ορισμο το εσωτερικο γινομενο, και απλα στο βιβλιο ο συγγραφεας ξεχασε να το βαλει.... :D

_________________
\int_{M} \mathrm{d}\omega =\int_{\partial M} \omega


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Μοναδιαίοι Πίνακες - Εσωτερικό Γινόμενο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Ιαν 2014, 22:30 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 23 Φεβ 2011, 11:45
Δημοσ.: 247
Μπράβο ρε συ τώρα βγαίνει νόημα!!! Και μόλις μου απάντησε και ο κ.Μαλιάκας

Παράθεση:
Εκεί γράφουμε την i γραμμή του Α (αλλά τη θέλουμε γραμμένη σαν στήλη, για αυτό μπαίνει το ανάστροφο)
Στο βιβλίο πάντως το γράφει διαφορετικά:
Α*Β= ταυτοτικός <=> (το εσωτερικό γινόμενο της i-γραμμής του Α)*(με την j-στήλη του συζυγή Β)
= [1 αν i=j] και [0 αν i διαφορετικό από j]


Δικαιολογεί σωστά το βιβλίο και αυτό με ανησυχεί :P
Αλλά αφού πήρα την απάντηση θα το αφήσω γτ μπορεί να βρω τπτ άλλο!! :pissed:

Και παλι ευχαριστώ captain ;)


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Μοναδιαίοι Πίνακες - Εσωτερικό Γινόμενο
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 20 Ιαν 2014, 22:39 
Χωρίς σύνδεση
Forum Moderator

Εγγραφη: 19 Ιαν 2014, 22:08
Δημοσ.: 268
Τοποθεσια: Νίκαια
Τίποτα ρε :)

_________________
\int_{M} \mathrm{d}\omega =\int_{\partial M} \omega


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 14 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group