forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 17 Δεκ 2018, 16:24

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 10 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Διάσταση Ιδιοχώρου - Πολλαπλότητα Ρίζας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Σεπ 2013, 22:41 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 23 Φεβ 2011, 11:45
Δημοσ.: 247
Η απόδειξη που έγινε στο μάθημα
Παράθεση:
Έστω f:V \rightarrow V μια γραμμική απεικόνιση.
Αν το \lambda \in \mathbb{F} είναι μια ιδιοτιμή της f, τότε ισχύει dimV(\lambda) \leqslant m(\lambda)


Στην απόδεξειξη φτάνει σε ένα σημείο στο τέλος οτι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της f, είναι:
\chi_f(x)=(-1)^k(x-\lambda)^k\chi_\Gamma(x)
Άρα το (x-\lambda)^k διαιρεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της f.
(μέχρι εδώ κομπλέ)

Επομένως (λέει αμέσως μετά)
k \leqslant m(\lambda), δηλαδή dimV(\lambda) \leqslant m(\lambda)

Γιατί είναι k \leqslant m(\lambda) και όχι σκέτο ίσον (και ως εκ τουτου να ισχύει πάντα η ισότητα);
Αφού η πολλαπλότητα της ρίζας ειναι k !


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Διάσταση Ιδιοχώρου - Πολλαπλότητα Ρίζας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Σεπ 2013, 22:55 
Χωρίς σύνδεση
Forum Administrator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 24 Αύγ 2013, 20:02
Δημοσ.: 1339
Τοποθεσια: Αθήνα
Ξέρεις ότι dimV(\lambda)=k από την υπόθεση. Επίσης ξέρεις ότι το (x-\lambda)^k σίγουρα διαιρεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της f. Άρα η πολλαπλότητα τη ιδιοτιμής λ είναι τουλάχιστον k, επειδή δεν ξέρεις αν ο όρος (x-\lambda) διαιρεί και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Γ.

_________________
If something is perfect, then there is no room for imagination.
It is our job to create things more wonderful than anything before them, but never to obtain perfection.
A scientist must be a person who finds ecstasy, while suffering from that antinomy.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Διάσταση Ιδιοχώρου - Πολλαπλότητα Ρίζας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Σεπ 2013, 23:31 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 23 Φεβ 2011, 11:45
Δημοσ.: 247
ichicome έγραψε:
Ξέρεις ότι dimV(\lambda)=k από την υπόθεση. Επίσης ξέρεις ότι το (x-\lambda)^k σίγουρα διαιρεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της f. Άρα η πολλαπλότητα τη ιδιοτιμής λ είναι τουλάχιστον k, επειδή δεν ξέρεις αν ο όρος (x-\lambda) διαιρεί και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Γ.


Όμως για να ισχύει dimV(\lambda)=k σημαίνει οτι ο ιδιοχώρος dimV(\lambda) έχει k ιδιοδιανύσματα. Σωστά;
Αν \mu , \mu\neq\lambda μία άλλη ιδιοτιμή της f, τότε τα ιδιοδιανύσματα που προκύπτουν απο τον ιδιοχώρο V_f(\mu) θα είναι γραμμικά ανεξάρτητα απο αυτά του ιδιοχώρου V_f(\lambda), επομένως σκέφτηκα οτι το x-\lambda δεν θα μπορεί να διαρέσει παραπάνω το x_\Gamma(x).

Δεν ξέρω αν ο συλλογισμός μου είναι σωστός...


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Διάσταση Ιδιοχώρου - Πολλαπλότητα Ρίζας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Σεπ 2013, 23:38 
Χωρίς σύνδεση
Forum Administrator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 24 Αύγ 2013, 20:02
Δημοσ.: 1339
Τοποθεσια: Αθήνα
Δεν είμαι σίγουρος ότι τον έπιασα τον συλλογισμό σου, αλλά θα προσπαθήσω να σε βοηθήσω. Τα ιδιοδιανύσματα που αποτελούν βάση του ιδιόχωρου της ιδιοτιμής λ δεν είναι ανάγκη να είναι τόσα όσα και η πολλαπλότητα της ιδιοτιμής λ. Μπορεί η ιδιοτιμή λ να έχει πολλαπλότητα 2, όμως η βάση του ιδιόχωρου της ιδιοτιμής λ να έχει 1 στοιχείο. Αν ισχύει dimV(\lambda)=m(\lambda) για κάθε ιδιοτιμή λ ενός πίνακα Α, τότε ο πίνακας είναι διαγωνίσιμος, αλλιώς απλά δεν είναι διαγωνίσιμος.

_________________
If something is perfect, then there is no room for imagination.
It is our job to create things more wonderful than anything before them, but never to obtain perfection.
A scientist must be a person who finds ecstasy, while suffering from that antinomy.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Διάσταση Ιδιοχώρου - Πολλαπλότητα Ρίζας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 15 Σεπ 2013, 23:58 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 23 Φεβ 2011, 11:45
Δημοσ.: 247
ichicome έγραψε:
Δεν είμαι σίγουρος ότι τον έπιασα τον συλλογισμό σου, αλλά θα προσπαθήσω να σε βοηθήσω. Τα ιδιοδιανύσματα που αποτελούν βάση του ιδιόχωρου της ιδιοτιμής λ δεν είναι ανάγκη να είναι τόσα όσα και η πολλαπλότητα της ιδιοτιμής λ. Μπορεί η ιδιοτιμή λ να έχει πολλαπλότητα 2, όμως η βάση του ιδιόχωρου της ιδιοτιμής λ να έχει 1 στοιχείο. Αν ισχύει dimV(\lambda)=m(\lambda) για κάθε ιδιοτιμή λ ενός πίνακα Α, τότε ο πίνακας είναι διαγωνίσιμος, αλλιώς απλά δεν είναι διαγωνίσιμος.


Ναι όντως έτσι είναι.

Απο υπόθεση έχουμε οτι dimV(\lambda)=k.
(Αυτό σημαίνει οτι ο ιδιοχώρος του λ παράγεται απο k γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λ)

Η απόδειξη φτάνει σε κάποιο σημείο
x_f(x)=(-1)^k(x-\lambda)^kx_\Gamma(x)
Που απο εδώ συμπαιρένουμε οτι η πολλαπλότητα του λ είναι τουλάχιστον k οπως πολύ σωστά είπες.
Μάλλον εκεί που μπερδεύομαι..

Μπορεί το x-\lambda να διαρεί και το x_\Gamma(x) αλλά αυτό να μην σημαίνει απαραίτητα οτι θα προκύψει κι άλλο ιδιοδιάνυσμα που να αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ.

Εγώ σκεφτόμουν οτι στο x_\Gamma(x) θα υπάρχουν άλλες ρίζες διαφορετικές απο το λ, οπότε και διαφορετικές ιδιοτιμές. Και ξέρουμε οτι αν υπάρχουν δύο διαφορετικές ιδιοτιμές, τότε τα ιδιοδιανύσματα τους είναι και γραμμικά ανεξάρτητα.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Διάσταση Ιδιοχώρου - Πολλαπλότητα Ρίζας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Σεπ 2013, 00:19 
Χωρίς σύνδεση
Forum Administrator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 24 Αύγ 2013, 20:02
Δημοσ.: 1339
Τοποθεσια: Αθήνα
Το λ μπορεί να είναι ιδιοτιμή και του πίνακα Γ χωρίς να επηρεάζεται η διάσταση του ιδιόχωρου. Πάρε για παράδειγμα τον πίνακα: A=\left(
\begin{array}{c c c c}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array}
\right). Κάνοντας πράξεις μπορείς να βρεις ότι η βάση του ιδιόχωρου της ιδιοτιμής 1 περιέχει 2 γραμμικά ανεξάρητητα ιδιοδιανύσματα: \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array}
\right) και \left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array}
\right). Όμως το 1 είναι ιδιοτιμή και του πίνακα \Gamma=\left(
\begin{array}{c c}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{array}
\right). Δηλαδή η πολλαπλότητα της ιδιοτιμής 1 είναι 3, ενώ η διάσταση του ιδιοχώρου είναι 2.

_________________
If something is perfect, then there is no room for imagination.
It is our job to create things more wonderful than anything before them, but never to obtain perfection.
A scientist must be a person who finds ecstasy, while suffering from that antinomy.


Τελευταία επεξεργασία απο ichicome την 16 Σεπ 2013, 00:42, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Διάσταση Ιδιοχώρου - Πολλαπλότητα Ρίζας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Σεπ 2013, 00:33 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 23 Φεβ 2011, 11:45
Δημοσ.: 247
ichicome έγραψε:
Το λ μπορεί να είναι ιδιοτιμή και του πίνακα Γ χωρίς να επηρεάζεται η διάσταση του ιδιόχωρου. Πάρε για παράδειγμα τον πίνακα: A=\left(
\begin{array}{c c c c}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 2
\end{array}
\right). Κάνοντας πράξεις μπορείς να βρεις ότι η βάση του ιδιόχωρου της ιδιοτιμής 1 περιέχει 2 γραμμικά ανεξάρητητα ιδιοδιανύσματα: \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array}
\right) και \left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array}
\right). Όμως το 1 είναι ιδιοτιμή και του πίνακα \Gamma=\left(
\begin{array}{c c}
2 & 1 \\
-1 & 2
\end{array}
\right). Δηλαδή η πολλαπλότητα της ιδιοτιμής 1 είναι 3, ενώ η διάσταση του ιδιοχώρου είναι 2.


Φίλε είσαι φοβερός. Χρησιμοποίησες το τέλειο παράδειγμα πάνω στην απορία μου.
Απλώς για να βγαίνουν οι πράξεις στον πίνακα Γ πρέπει να σου ξέφυγε καταλάθος το "-" στο 1. Δηλαδή \Gamma=\left(
\begin{array}{c c}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{array}
\right)

Για άλλη μία φορά 1000 ευχαριστώ! :))


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Διάσταση Ιδιοχώρου - Πολλαπλότητα Ρίζας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Σεπ 2013, 00:45 
Χωρίς σύνδεση
Forum Administrator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 24 Αύγ 2013, 20:02
Δημοσ.: 1339
Τοποθεσια: Αθήνα
Το διόρθωσα και χάρηκα που σε βοήθησα!

_________________
If something is perfect, then there is no room for imagination.
It is our job to create things more wonderful than anything before them, but never to obtain perfection.
A scientist must be a person who finds ecstasy, while suffering from that antinomy.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Διάσταση Ιδιοχώρου - Πολλαπλότητα Ρίζας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Σεπ 2013, 14:14 
Χωρίς σύνδεση
Forum Administrator
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 24 Αύγ 2013, 20:02
Δημοσ.: 1339
Τοποθεσια: Αθήνα
Βασικά είναι λάθος όλο το παράδειγμα, επειδή έκανα λάθος το πρόσημο και βγαίνουν 3 ιδιοδιανύσματα στη βάση του ιδιόχωρου. Γι' αυτό δεν πρέπει να διαβάζω Απειροστικό 2 και να προσπαθώ παράληλλα να λύσω απορίες στη Γραμμική 2 μετά τα μεσάνυχτα. Τέλος πάντων ξέχασε πως το έγραψα! :har:
Λοιπόν ο πίνακας A=\left(
\begin{array}{c c c}
1 & 1 & -1 \\
0 & 4 & -2 \\
0 & 3 & -1
\end{array}
\right) είναι της μορφής \left(
\begin{array}{c c}
I_1 & B \\
0 & \Gamma
\end{array}
\right), η βάση του ιδιόχωρου της ιδιοτιμής 1 περιέχει 1 στοιχείο, το \left(
\begin{array}{c c c}
1 \\
0 \\
0
\end{array}
\right), ενώ η πολλαπλότητα της ιδιοτιμής 1 είναι 2.
Τώρα ησύχασα!

_________________
If something is perfect, then there is no room for imagination.
It is our job to create things more wonderful than anything before them, but never to obtain perfection.
A scientist must be a person who finds ecstasy, while suffering from that antinomy.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Διάσταση Ιδιοχώρου - Πολλαπλότητα Ρίζας
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 16 Σεπ 2013, 18:28 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 23 Φεβ 2011, 11:45
Δημοσ.: 247
Σωστός!! δουλεύει ;) Μου την έλυσες την απορία!! :D


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 10 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group