forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 22 Οκτ 2018, 13:56

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 21 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Συζήτηση για τα θέματα: Ιούνιος 2013
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Ιουν 2013, 05:33 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 02 Οκτ 2012, 19:35
Δημοσ.: 693
nyaa^2 έγραψε:
Andreas K έγραψε:
Έγιναν 35 νομίζω μαθήματα και με ερμιτιανούς μοναδιαίους κανονικούς πίνακες ασχοληθήκατε από το μάθημα 26 μέχρι το 31, δηλαδή το 15% των μαθημάτων περίπου. Σιγά την εμβάθυνση.

Συμφωνώ πάντως ότι ενώ ήταν τελικά τόσο σημαντικό κομμάτι αφιερώσαμε λίγο χρόνο και δεν είναι να πει κανείς ότι ήταν το τελευταίο καφαλαιο και βιαζόμασταν να τελειώσουμε.Η ύλη βγήκε πολύ άνετα .
Στο ζουμί τώρα στο θέμα 3α εσείς πως το λύσατε ??? Το άρχισα αλλά μετά κόλλησα και δεν κατάφερα να το τελειώσω :wink: Και στα επόμενα ερωτήματα του δεύτερου θέματος είχα προβλήματα.


Επίσης τώρα που τα ξαναβλέπω είναι πραγματικά πολλά :shock: :shock:


Ποιο θέμα εννοείς λέγοντας 3α?

Για το 2ο θέμα εν τάχει έχουμε:

a) det((B+I_4)(B+3I_4))=det(B+I_4)det(B+3I_4)=x_B(-1)x_B(-3), διαφορετικό του 0, άρα αντιστρέψιμος.

b)Από C-H ισχύει B^3(B-2)=0 \Leftrightarrow B^4=2B^3...B^6=B^4B^2=2B^3B^2=2B^5=2B^4B=2 \cdot 2B^3B=4B^4=...=8B^3

c)Το m_B(x) έχει τις ίδιες ρίζες με το x_B(x) και επίσης το διαιρεί. Αφού Β ερμιτιανός, θα είναι και διαγωνίσιμος. Άρα το m_B(x) θα είναι γινόμενο πρωτοβάθμιων διακεκριμένων μονικών παραγόντων. Από τα προηγούμενα έπεται ότι m_B(x)=x(x-2). Επίσης ξέρουμε ότι m_B(B)=0...

d)Είναι άμεσο ότι dimV_B(2)=1. Έχουμε
B διαγωνίσιμος \Leftrightarrow dimV_B(2)+dimV_B(0)=4 \Leftrightarrow dimV_B(0)=3 (1)
Όμως dimV_B(0)=4-rank(B-0 \cdot I_4)=4-rankB άρα
(1) \Leftrightarrow 4-rankB=3 \Leftrightarrow rankB=1

ΥΓ: Γιατί δεν μου παίρνει το "διάφορο" (\neq) στην λατέχ?


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Συζήτηση για τα θέματα: Ιούνιος 2013
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Ιουν 2013, 10:46 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 02 Οκτ 2012, 13:27
Δημοσ.: 19
Sorry typo 2Α εννοούσα :P
Τι κρίμα ρε γαμώτο τώρα που τα βλέπω ,τα ήξερα και κόλλησα τόσο πολύ :( :( εκτός από το καταραμένο rank (που δεν θα μου ερχόταν με τίποτα όσο και άμεσο αν λες ότι είναι) όλα τα άλλα θα μπορούσα να τα βγάλω :( :(

Ευχαριστώ που ασχολήθηκες πάντως :)

_________________
ΕικόναΕικόνα
http://www.youtube.com/watch?v=WAK0tGsFDNg
http://www.youtube.com/watch?v=yFJgdlvRsA8


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Συζήτηση για τα θέματα: Ιούνιος 2013
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Ιουν 2013, 10:47 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 23 Μαρ 2006, 08:51
Δημοσ.: 404
Για το θέμα 3Αα, ένας τρόπος λύσης είναι (συνοπτικά):
Έστω \text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }(x)=a{{x}^{2}}+bx+c\in {{\mathbb{R}}_{2}}[x]. Τότε f(\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }(x))=(4a+2b+c)x. Η ισότητα πολυωνύμων f(\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }(x))=\lambda \varphi\!\!\text{ }(x), όπου \lambda \in \mathbb{R}, ισοδυναμεί με το σύστημα
\\ 
 & \left\{ \begin{align}
  & \lambda a\quad \quad \quad \quad \quad \ \ =0 \\ 
 & 4a+(2-\lambda \text{)}b+c=0 \\ 
 & \quad \quad \quad \quad \quad \ \lambda c=0. \\ 
\end{align} \right. \\
Το σύστημα ως προς a,b,c έχει μη μηδενική λύση αν και μόνο αν \det \left( \begin{matrix}
   \text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ } & 0 & 0  \\
   4 & 2-\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ } & 1  \\
   0 & 0 & \text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ }  \\
\end{matrix} \right)=0\Leftrightarrow \text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ =0}\text{,2}\text{.}
Οι αντίστοιχοι ιδιόχωροι είναι
V(0)=\{ ax^2+bx+c \in \mathbb{R}_{2}[x] \left| 4a+2b+c=0 \}= = \{a(x^{2}-4)+b(x-2) \left| a,b\in \mathbb{R} \},
V(2)=\{bx\left| b\in \mathbb{R} \}.

Βάσεις αυτών είναι αντίστοιχα τα σύνολα
\{{{x}^{2}}-4,x-2\},
\{x\}.

Επειδή dimV(0)+dimV(2)=2+1=3=\dim{{\mathbb{R}}_{2}}[x] , η f είναι διαγωνίσμη.


Τελευταία επεξεργασία απο Μιχάλης Μαλιάκας την 08 Ιουν 2013, 11:37, επεξεργάστηκε 1 φορές συνολικά.

Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Συζήτηση για τα θέματα: Ιούνιος 2013
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Ιουν 2013, 10:55 
Χωρίς σύνδεση
Άβαταρ μέλους

Εγγραφή: 02 Οκτ 2012, 13:27
Δημοσ.: 19
Ευχαριστώ πάρα πολύ κύριε Μαλιακα !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

ΕικόναΕικόναΕικόναΕικόναΕικόναΕικόναΕικόνα

_________________
ΕικόναΕικόνα
http://www.youtube.com/watch?v=WAK0tGsFDNg
http://www.youtube.com/watch?v=yFJgdlvRsA8


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Συζήτηση για τα θέματα: Ιούνιος 2013
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Ιουν 2013, 13:43 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 02 Οκτ 2012, 19:35
Δημοσ.: 693
nyaa^2 έγραψε:
Sorry typo 2Α εννοούσα :P
Τι κρίμα ρε γαμώτο τώρα που τα βλέπω ,τα ήξερα και κόλλησα τόσο πολύ :( :( εκτός από το καταραμένο rank (που δεν θα μου ερχόταν με τίποτα όσο και άμεσο αν λες ότι είναι) όλα τα άλλα θα μπορούσα να τα βγάλω :( :(

Ευχαριστώ που ασχολήθηκες πάντως :)


Για το 2Α χρησιμοποιείς τον ορισμό του ιδιοδιανύσματος-ιδιοτιμής.
Για να δεις αν ο πίνακας-στήλη που σου δίνουν είναι ιδιοδιάνυσμα του Α, υπολογίζεις το γινόμενό τους και βλέπεις αν το αποτέλεσμα είναι πολλαπλάσιο του πίνακα-στήλη που δίνεται.
Για να δεις αν το 0 είναι ιδιοτιμή...λύνεις το σύστημα AX=0 \cdot X=0, X=(x,y,z,w)^t και εξετάζεις αν έχει μη-μηδενικές λύσεις...
Βέβαια με αυτόν τον τρόπο ουσιαστικά βρίσκεις όλα τα ιδιαδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή 0. Για να δείξεις ότι το 0 είναι ιδιοτιμή σου αρκεί να βρεις έστω ένα μη-μηδενικό.
Σε αυτό θα μπορούσε να μας οδηγήσει η συμμετρία του πίνακα: αν τραβήξεις μια κάθετη στο κέντρο του πίνακα, θα δεις ότι σε κάθε γραμμή του πίνακα υπάρχουν ένα 1 και ένα 2 αριστερά της κάθετης και το ίδιο δεξιά...χωρίς να μας ενδιαφέρει η σειρά τους...άρα σε κάθε γραμμή το άθροισμα αριστερά της κάθετης είναι ίσο με το άθροισμα δεξιά αυτής...άρα η διαφορά τους θα είναι 0...άρα μας οδηγεί αυτό στο να θεωρήσουμε τον πίνακα στήλη (1,1,-1,-1)^t που ουσιαστικά "μοντελοποιεί" την διαφορά των αθροισμάτων που παρατηρήσαμε παραπάνω.

Νομίζω πιο σημαντικό είναι ότι τα ξέρεις, πάρα το ότι δεν τα έγραψες.
Καλή συνέχεια :thumbup:


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Συζήτηση για τα θέματα: Ιούνιος 2013
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 08 Ιουν 2013, 14:01 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφή: 23 Μαρ 2006, 08:51
Δημοσ.: 404
Να προσθέσω, εναλλακτικά, ότι για την ιδιοτιμή 0 παρατηρείς ότι δύο γραμμές του πίνακα είναι ίσες και άρα η ορίζουσα είναι 0.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 21 δημοσιεύσεις ]  Μετάβαση στην σελίδα Προηγούμενη  1, 2

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group