forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 15 Οκτ 2018, 15:48

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 8 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Άσκηση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 23 Μάιος 2013, 17:03 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 02 Οκτ 2012, 19:35
Δημοσ.: 693
Δείξτε ότι δεν υπάρχει
B \in \mathbb{R}^{2x2} τέτοιος ώστε B^2=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\ 
0 & 0
\end{pmatrix}.

Έχω βρει μια στοιχειώδη λύση με την επίλυση ενός συστήματος. Δεν ταιριάζει όμως στο κεφάλαιο Ιδιοτιμές και Διαγωνισιμότητα που βρίσκεται η άσκηση.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Μάιος 2013, 11:41 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 19 Φεβ 2010, 20:33
Δημοσ.: 177
Νομιζω οτι η απαντηση βγαινει απο το θεωρημα φασματικης απεικονισης!
Εστω οτι υπαρχει τετοιος πινακας Β2x2. Οι ιδιοτιμες του Β^2 ειναι οι 0^2=0 και 0^2=0, αρα και του Β οι ιδιοτιμες θα ναι οι 0, 0, δηλ ο Β θα ναι της μορφης (0, * ,[1η γραμμη] *, 0 [2η γραμμη]) και τωρα
Β^2=(0,1,[1η] 0,0[2η])= Β x Β = (0, * ,[1η] *, 0 [2η]) x (0, * ,[1η] *, 0 [2η])= (*^2,0[1η], 0,*^2[2η]) που ειναι διαφορος του (0,1,[1η] 0,0[2η]). Πραγμα ατοπο, αρα δεν υπαρχει πινακας Β τετοιος.
Ελπιζω να σε βοηθησα. :oops:


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Μάιος 2013, 13:30 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 02 Οκτ 2012, 19:35
Δημοσ.: 693
kuvernontanta έγραψε:
Νομιζω οτι η απαντηση βγαινει απο το θεωρημα φασματικης απεικονισης!
Εστω οτι υπαρχει τετοιος πινακας Β2x2. Οι ιδιοτιμες του Β^2 ειναι οι 0^2=0 και 0^2=0, αρα και του Β οι ιδιοτιμες θα ναι οι 0, 0, δηλ ο Β θα ναι της μορφης (0, * ,[1η γραμμη] *, 0 [2η γραμμη]) και τωρα
Β^2=(0,1,[1η] 0,0[2η])= Β x Β = (0, * ,[1η] *, 0 [2η]) x (0, * ,[1η] *, 0 [2η])= (*^2,0[1η], 0,*^2[2η]) που ειναι διαφορος του (0,1,[1η] 0,0[2η]). Πραγμα ατοπο, αρα δεν υπαρχει πινακας Β τετοιος.
Ελπιζω να σε βοηθησα. :oops:


Δεν νομίζω ότι ένας 2x2 πίνακας με ιδιοτιμές το 0 έχει υποχρεωτικά τη μορφή που δίνεις.
Ας δούμε για παράδειγμα τον B=\begin{pmatrix}
1 & 1 \\ 
-1 & -1
\end{pmatrix}. x_B(x)=(x-1)(x+1)+1=x^2...

Γενικότερα κάθε B=\begin{pmatrix}
a & b \\ 
\frac{-a^2}{b} & -a
\end{pmatrix} έχει δυο ιδιοτιμές ίσες με 0.

Ακόμα πιο γενικά ένας B=\begin{pmatrix}
a & b \\ 
c & d
\end{pmatrix} έχει δυο ιδιοτιμές ίσες με 0 αν και μόνο αν ad=bc \wedge a=-d


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Μάιος 2013, 14:17 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 19 Φεβ 2010, 20:33
Δημοσ.: 177
Τι να σου πω, δεν διαφωνώ απλά θυμάμαι ότι κάπως έτσι λυναμε τέτοιου είδους ασκήσεις! Απευθύνσου στον κύριο Μαλιακα που απαντάει γενικά κ εδώ κ σε e-mails.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Μάιος 2013, 14:48 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 11 Απρ 2012, 13:46
Δημοσ.: 51
Νομιζω οτι αφου οι ιδιοτιμες του Β^2 ειναι 0 τοτε και οι ιδιοτιμες του Β θα ειναι 0 , αρα το χαρακτηριστικό πολυώνυμο θα ειναι το φ(x)=x^2.Απο το θεώρημα Cayley-Hamilton εχουμε οτι φ(Β)=0 αρα ο Β^2 ειναι ο μηδενικος πινακας.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Μάιος 2013, 15:19 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 19 Φεβ 2010, 20:33
Δημοσ.: 177
Το ιδιο πραγμα λεμε abc7.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 24 Μάιος 2013, 15:35 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer

Εγγραφη: 02 Οκτ 2012, 19:35
Δημοσ.: 693
abc7 έγραψε:
Νομιζω οτι αφου οι ιδιοτιμες του Β^2 ειναι 0 τοτε και οι ιδιοτιμες του Β θα ειναι 0 , αρα το χαρακτηριστικό πολυώνυμο θα ειναι το φ(x)=x^2.Απο το θεώρημα Cayley-Hamilton εχουμε οτι φ(Β)=0 αρα ο Β^2 ειναι ο μηδενικος πινακας.


Συμφωνώ, απλώς το θεώρημα είναι παρακάτω στο βιβλίο οπότε λογικά δεν "μπορεί" να χρησιμοποιηθεί.

Εγώ αρχικά έκανα μια τελείως στοιχειώδη λύση...θεωρείς τον τυχαίο 2χ2 πίνακα, κάνεις πράξεις, καταλήγεις σε ένα σύστημα και δείχνεις ότι αυτό δεν έχει λύση, άρα δεν υπάρχει τέτοιος πίνακας. Μου φάνηκε κάπως μπελαλίδικη και εκτός του πνεύματος του κεφαλαίου στο οποίο ήταν η άσκηση. Γι αυτό και ρώτησα...

kuvernontanta έγραψε:
Το ιδιο πραγμα λεμε abc7.


Δεν νομίζω ότι η επιχειρηματολογία σας είναι ίδια. Άλλο ότι το χαρακτηριστικό πολ του Β θα είναι το x^2 (που είναι σωστό) και άλλο ο Β θα είναι της μορφής που λες. :wink:

Ευχαριστώ για την ενασχόληση παίδες


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης: Re: Άσκηση
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 25 Μάιος 2013, 16:25 
Χωρίς σύνδεση

Εγγραφη: 26 Σεπ 2012, 15:17
Δημοσ.: 19
Τοποθεσια: athens
θεωρω το q(λ) =λ^2 . Παιρνω το πηλικο το με το χαρακτηριστικο πολ/μο του πινακα Β και εχω--> q(λ)=π(λ)*χβ(λ)+υ(λ) ,(1).

Ομως το χαρ/κο πλ/μο του πινακα Β ( χβ(λ) ) ειναι το πολυ 2ου βαθμου αρα το υ(λ) ειναι το πολυ 1ου βαθμου επομενως υ(λ)=κλ .

Αν βαλω οπου λ τον πινακα Β στην (1), (κατι που επιτρεπεται να γινει) ,εχω απο C-H -->q(B)=υ(Β)=κ*Β => Β^2=κ*Β , (2) . Αν κ=0

ατοπο αρα κ διαφορο του 0.

Τωρα θεωρω Β=(α,β * γ,δ) οπου το * δηλωνει αλλαγη γραμμης, εχουμε απο την (2) οτι α=γ=δ=0 και β=1/κ . αρα Β=(0,1/κ * 0,0) που ειναι ατοπο γιατι τοτε Β^2=(0,0 * 0,0) ! Ελπιζω να εγινα κατανοητος !


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 8 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group