forum.math.uoa.gr

Forum του Τμήματος Μαθηματικών
Ημερομηνία 17 Δεκ 2018, 17:21

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]




Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 
Συγγραφέας Μήνυμα
 Θέμα δημοσίευσης: Η μέθοδος των δυναμοσειρών
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 29 Δεκ 2006, 15:15 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Μαρ 2006, 21:16
Δημοσ.: 459
Τοποθεσια: Νέος Κόσμος
Ένα κεφάλαιο που διδάσκεται στις διαφορικές εξισώσεις Ι είναι η μέθοδος των δυναμοσειρών για επίλυση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με αναλυτικούς συντελεστές.

Είναι ενδιαφέρον θέμα και από υπολογιστική σκοπιά, καθώς δίνει έναν αλγόριθμο για την αναπαράσταση στον υπολογιστή συναρτήσεων όπως οι [tex]e^x,\ \log x[/tex], οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ή ακόμη πιο σύνθετες συναρτήσεις, που δεν έχουμε άμεσα την παράστασή τους σα δυναμοσειρά.

Το ζητούμενο είναι ο υπολογισμός των πρώτων [tex]n[/tex] όρων της δυναμοσειράς μιας συνάρτησης. Αρχικά αναπαριστούμε τη συνάρτηση ως τη λύση ενός Προβλήματος Αρχικών Τιμών. Πχ η [tex]e^x[/tex] είναι η λύση του ΠΑΤ [tex]y'-y=0, \ y(0)=1[/tex].

Ποιός θα ήταν ο αλγόριθμος που θα γράφατε, με είσοδο μια γραμμική διαφορική εξίσωση με αναλυτικούς συντελεστές και έξοδο τη λύση της διαφορικής εξίσωσης, η καλύτερα, τους πρώτους [tex]n[/tex] όρους της δυναμοσειράς(με κέντρο το 0) της λύσης ?

Έχοντας την έξοδο από τον παραπάνω αλγόριθμο μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε την προσεγγιστική τιμή της συνάρτησης σε οποιοδήποτε [tex]x[/tex], αφού την έχουμε βρει ένα πολυώνυμο με [tex]n[/tex] όρους που προσεγγίζει τη συνάρτηση. Ο υπολογισμός αυτός γίνεται αποτελεσματικά με χρήση του σχήματος Horner.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
 Θέμα δημοσίευσης:
ΔημοσίευσηΔημοσιεύτηκε: 03 Ιαν 2007, 11:54 
Χωρίς σύνδεση
Regular Forumer
Άβαταρ μέλους

Εγγραφη: 01 Μαρ 2006, 21:16
Δημοσ.: 459
Τοποθεσια: Νέος Κόσμος
Θεωρήστε μια γραμμική διαφορική εξίσωση με συντελεστές πολυώνυμα.

α) Εκφράστε τον πολλαπλασιασμό πολυωνύμων σαν πολλαπλασιασμό από αριστερά ενός πίνακα επί διάνυσμα.

β) Δείξτε ότι η εύρεση των πρώτων n συντελεστών της δυναμοσειράς της λύσης ανάγεται στην επίλυση ενος τριγωνικού συστήματος.

γ) Πως σχηματίζεται ο πίνακας του συστήματος και πως το δεξί μέλος ?

δ) γενικεύστε τον αλγόριθμο ώστε να λύνει ΔΕ με αναλυτικούς συντελεστές: Κάθε αναλυτικός συντελεστής θα δίνεται σαν μια διαφορική εξίσωση με συντελεστές πολυώνυμα ή άθροισμα,γινόμενο,πηλίκο τέτοιων.


Κορυφή
 Προφίλ  
 
Τελευταίες δημοσιεύσεις:  Ταξινόμηση κατά  
Δημιουργία νέου θέματος Απάντηση στο θέμα  [ 2 δημοσιεύσεις ] 

Όλοι οι χρόνοι είναι UTC + 2 ώρες [ DST ]


Μελη σε συνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση : Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης


Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτή τη Δ. Συζήτηση

Αναζήτηση για:
Μετάβαση σε:  
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group